弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

圆心角：
顶点在圆心的角叫做圆心角。

圆周角：
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角的顶点在圆上，它的两边为圆的两条弦。

圆心角特征识别:
①顶点是圆心；
②两条边都与圆周相交。

计算公式:
①L(弧长)=n/180Xπr（n为圆心角度数，以下同）；
②S(扇形面积) = n/360Xπr²；
③扇形圆心角n=（180L）/（πr）（度）。
④K=2Rsin(n/2) K=弦长；n=弦所对的圆心角，以度计。

圆心角定理:
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
理解：(定义）
（1）等弧对等圆心角
（2）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．
（3）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧．
（4）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．
推论：
在同圆或等圆中,如果(1)两个圆心角,(2)两条弧,(3)两条弦(4)两条弦上的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等

与圆周角关系:
在同圆或等圆中,同弧或同弦所对的圆周角等于二分之一的圆心角。
定理证明：分三种情况讨论，始终做直径COD，利用等腰三角形等腰底角相等，外角等于两内角之和来证明。

圆周角定理推论：
圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。
①圆周角度数定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半。
③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等。（不在同圆或等圆中其实也相等的。注：仅限这一条。）
④半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
⑥在同圆或等圆中，圆周角相等<=>弧相等<=>弦相等。

考点名称：圆的认识

• 圆的定义：
  圆是一种几何图形。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。
  在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
  
  相关定义:
  1 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。
  2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。
  3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。直径所在的直线是圆的对称轴。
  4 连接圆上任意两点的线段叫做弦。最长的弦是直径,直径是过圆心的弦。
  5 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。
  6 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
  7 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。
  8 顶点在圆心上的角叫做圆心角。
  9 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
  10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个无限不循环小数，通常用π表示，π=3.14159265……在实际应用中，一般取π≈3.14。
  11圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。
  12 圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但不等于0。
  
  圆的集合定义：
  圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径。

• 圆的字母表示：
  以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作O”。
  圆—⊙ ；
  半径—r或R（在环形圆中外环半径表示的字母）；
  弧—⌒ ；
  直径—d ；
  扇形弧长—L ；                            
  周长—C ；                              
  面积—S。
  
  圆的性质:
  （1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
  圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
  垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
  逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。
  （2）有关圆周角和圆心角的性质和定理
  ① 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
  ②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。
  直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。
  圆心角计算公式：　θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。
  即圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
  ③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。
  （3）有关外接圆和内切圆的性质和定理
  ①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；
  ②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
  ③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）。
  ④两相切圆的连心线过切点。（连心线：两个圆心相连的直线）
  ⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
  
  （4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。
  （5）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
  （6）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。
  （7）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。
  （8）周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。

• 点、线、圆与圆的位置关系：
  点和圆位置关系
  ①P在圆O外，则 PO>r。
  ②P在圆O上，则 PO=r。
  ③P在圆O内，则 0≤PO<r。
  反过来也是如此。
  
  直线和圆位置关系
  ①直线和圆无公共点，称相离。 AB与圆O相离，d>r。
  ②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。AB与⊙O相交，d<r。
  ③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。（d为圆心到直线的距离）
  
  圆和圆位置关系
  ①无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。
  ②有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。
  ③有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
  设两圆的半径分别为R和r，且R〉r，圆心距为P，则结论：外离P>R+r；外切P=R+r；内含P<R-r；
  内切P=R-r；相交R-r<P<R+r。

• 圆的计算公式:
  1.圆的周长C=2πr=或C=πd
  2.圆的面积S=πr2
  3.扇形弧长L=圆心角（弧度制）× r = n°πr/180°（n为圆心角）
  4.扇形面积S=nπ r²/360=Lr/2（L为扇形的弧长）
  5.圆的直径 d=2r
  6.圆锥侧面积 S=πrl（l为母线长）
  7.圆锥底面半径 r=n°/360°L（L为母线长）（r为底面半径）
  
  圆的方程:
  1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是
  （x-a）²+（y-b)²=r²。
  特别地，以原点为圆心，半径为r（r>0）的圆的标准方程为x²+y²=r²。
  
  2、圆的一般方程：方程x²+y²+Dx+Ey+F=0可变形为（x+D/2）²+（y+E/2）²=（D²+E²-4F）/4.故有：
  ①当D²+E²-4F>0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以（√D²+E²-4F）/2为半径的圆；
  ②当D²+E²-4F=0时，方程表示一个点（-D/2，-E/2）；
  ③当D²+E²-4F<0时，方程不表示任何图形。
  
  3、圆的参数方程：以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的参数方程是 x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, （其中θ为参数）
  圆的端点式：若已知两点A（a1,b1）,B（a2,b2），则以线段AB为直径的圆的方程为 （x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0