题文

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径GH⊥AB，交AC于D，GH，BC的延长线相交于E． （1）求证：∠OAD=∠E； （2）若OD=1，DE=3，试求⊙O的半径； （3）当 AGB 是什么类型的弧时，△CED的外心在△CED的外部、内部、一边上．（只写结论，不用证明）

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：连接OB， ∵GH⊥AB， ∴ AG = BG ． ∴∠AOG=∠GOB= 1 2 ∠AOB． ∵∠ACB= 1 2 ∠AOB， ∴∠AOG=∠ACB． ∴∠AOD=∠DCE． 又∠ADO=∠CDE， ∴∠OAD=∠E． （2）连接OC，则∠OAD=∠OCA， ∵∠OAD=∠E， ∴∠OCD=∠E． ∵∠DOC=∠COE， ∴△OCD∽△OEC． ∴ OC OE = OD OC ． ∴OC2=OE?OD=（1+3）×1=4． ∴OC=2． 即⊙O的半径为2． （3）当 AGB 是劣弧时，△CED的外心在△CED的外部； 当 AGB 是半圆时，△CED的外心在△CED的边上； 当 AGB 是优弧时，△CED的外心在△CED的内部．

据专家权威分析，试题“如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径GH⊥AB，交AC于D，GH，BC的延长..”主要考查你对  三角形的内心、外心、中心、重心，等边三角形，垂直于直径的弦，圆心角，圆周角，弧和弦  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内心、外心、中心、重心等边三角形垂直于直径的弦圆心角，圆周角，弧和弦

考点名称：三角形的内心、外心、中心、重心

• 三角形的四心定义：
  1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
  内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
  2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
  外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
  3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
  4、重心：重心是三角形三边中线的交点。

• 三角形的外心的性质：
  1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心；
  2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合；
  3.锐角三角形的外心在三角形内；
  钝角三角形的外心在三角形外；
  直角三角形的外心与斜边的中点重合。
  
  在△ABC中
  4.OA=OB=OC=R
  5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA
  6.S△ABC=abc/4R
  
  三角形的内心的性质：
  1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心
  2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
  3.r=2S/(a+b+c)
  4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
  5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2
  6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)
  
  三角形的垂心的性质:
  1.锐角三角形的垂心在三角形内；
  直角三角形的垂心在直角顶点上；