题文

在△ABC中，已知BC=a，CA=b，AB=c，s= a+b+c 2 ，内切圆I和BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．求证： （1）AF=s-a； （2）S△ABC=s（s-a）tan A 2 ．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：（1）设AE=AF=x，BF=BD=y，CD=CE=z， 得方程组 x+y=c y+z=a z+x=b ；（2分） 解得x=s-a， 所以AF=s-a；（4分） （2）设内切圆I的半径为r，连IA，IB，IC，ID，IE，IF， 则∠AFI=90°，∠IAF= A 2 ；（6分） r=AF?tan A 2 =（s-a）tan A 2 （8分） ∵S△ABC=S△ABI+S△BCI+S△CAI = 1 2 rc+ 1 2 ra+ 1 2 rb = 1 2 r（a+b+c） =sr；（9分） ∴S△ABC=s（s-a）tan A 2 ．（10分）

据专家权威分析，试题“在△ABC中，已知BC=a，CA=b，AB=c，s=a+b+c2，内切圆I和BC，CA，A..”主要考查你对  三角形的内心、外心、中心、重心  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内心、外心、中心、重心

考点名称：三角形的内心、外心、中心、重心

• 三角形的四心定义：
  1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
  内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
  2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
  外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
  3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
  4、重心：重心是三角形三边中线的交点。

• 三角形的外心的性质：
  1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心；
  2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合；
  3.锐角三角形的外心在三角形内；
  钝角三角形的外心在三角形外；
  直角三角形的外心与斜边的中点重合。
  
  在△ABC中
  4.OA=OB=OC=R
  5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA
  6.S△ABC=abc/4R
  
  三角形的内心的性质：
  1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心
  2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
  3.r=2S/(a+b+c)
  4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
  5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2
  6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)
  
  三角形的垂心的性质:
  1.锐角三角形的垂心在三角形内；
  直角三角形的垂心在直角顶点上；
  钝角三角形的垂心在三角形外。
  2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或
  者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。