如图,一块等腰三角形钢板的底边长为80cm,腰长为50cm.(1)求能从这块钢板上截得的最大圆的半径;(2)用一个圆完整覆盖这块钢板,这个圆的最小半径是多少cm?(3)求这块等腰三角-数学

题文

如图,一块等腰三角形钢板的底边长为80cm,腰长为50cm.
(1)求能从这块钢板上截得的最大圆的半径;
(2)用一个圆完整覆盖这块钢板,这个圆的最小半径是多少cm?
(3)求这块等腰三角形钢板的内心与外心之间距离.
题型:解答题  难度:中档

答案

(1)如图,过A作AD⊥BC于D
则AD=30,BD=CD=40,
设最大圆半径为r,
则S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC
∴S△ABC=
1
2
×BC×AD=
1
2
(AB+BC+CA)r?r=
40
3


(2)设覆盖圆的半径为R,圆心为O′,
∵△ABC是等腰三角形,过A作AD⊥BC于D,
∴BD=CD=40,AD=

502-402
=30,
∴O′在AD直线上,连接O′C,
在Rt△O′DC中,
由R2=402+(R-30)2
∴R=
125
3

若以BD长为半径为40cm,也可以覆盖,
∴最小为40cm.

(3)外接圆的圆心为O′,内切圆的圆心为O,
AO′=R=
125
3
,AO=30-
40
3
=
50
3

所以OO′=
125
3
-
50
3
=25.

据专家权威分析,试题“如图,一块等腰三角形钢板的底边长为80cm,腰长为50cm.(1)求能从..”主要考查你对  三角形的内心、外心、中心、重心  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

三角形的内心、外心、中心、重心

考点名称:三角形的内心、外心、中心、重心

  • 三角形的四心定义:
    1、内心:三角形三条内角平分线的交点,即内切圆的圆心。
    内心是三角形角平分线交点的原理:经圆外一点作圆的两条切线,这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理:角平分线上点到角两边距离相等)。
    2、外心:是三角形三条边的垂直平分线的交点,即外接圆的圆心。
    外心定理:三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
    3、中心:三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心,当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心。
    4、重心:重心是三角形三边中线的交点。

  • 三角形的外心的性质:
    1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点,该点即为三角形外接圆的圆心;
    2三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形,其外心是唯一的,但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合;
    3.锐角三角形的外心在三角形内;
    钝角三角形的外心在三角形外;
    直角三角形的外心与斜边的中点重合。

    在△ABC中
    4.OA=OB=OC=R
    5.∠BOC=2∠BAC,∠AOB=2∠ACB,∠COA=2∠CBA
    6.S△ABC=abc/4R

    三角形的内心的性质:
    1.三角形的三条角平分线交于一点,该点即为三角形的内心
    2.三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径r
    3.r=2S/(a+b+c)
    4.在Rt△ABC中,∠C=90°,r=(a+b-c)/2.
    5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2
    6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)

    三角形的垂心的性质:
    1.锐角三角形的垂心在三角形内;
    直角三角形的垂心在直角顶点上;
    钝角三角形的垂心在三角形外。
    2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或
    者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心。

    例如在△ABC中
    3. 垂心O关于三边的对称点,均在△ABC的外接圆圆上。
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