题文

如图△ABC内接于圆O，I是△ABC的内心，AI的延长线交圆O于点D． （1）求证：BD=DI； （2）若OI⊥AD，求 AB+AC BC 的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：∵点I是△ABC的内心 ∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI ∵∠CBD=∠CAD ∴∠BAD=∠CBD ∴∠BID=∠ABI+∠BAD，∠BAD=∠CAD=∠CBD， ∵∠IBD=∠CBI+∠CBD， ∴∠BID=∠IBD ∴ID=BD； （2）连接OA、OD、BD和BI， ∵OA=OD，OI⊥AD ∴AI=ID， ∵I为△ABC内心， ∴∠BAD=∠BCD， ∴弧BD=弧CD， ∵弧CD=弧CD， ∴∠BCD=∠BAD， ∴∠DBI=∠BCD+∠CBI=∠CAD+∠CBI， = 1 2 （∠BAC+∠ACB）， ∵∠DIB=∠DAB+∠ABI= 1 2 （∠BAC+∠ABC）， ∴∠DIB=∠DBI， ∴BD=ID=AI， BD = DC ， 故OD⊥BC，记垂足为E，则有BE= 1 2 BC， 作IG⊥AB于G，又∠DBE=∠IAG，而BD=AI， ∴Rt△BDE≌Rt△AIG， 于是，AG=BE= 1 2 BC，但AG= 1 2 （AB+AC-BC）， 故AB+AC=2BC， ∴ AB+AC BC =2．

据专家权威分析，试题“如图△ABC内接于圆O，I是△ABC的内心，AI的延长线交圆O于点D．（1）求..”主要考查你对  三角形的内心、外心、中心、重心  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内心、外心、中心、重心

考点名称：三角形的内心、外心、中心、重心

• 三角形的四心定义：
  1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
  内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
  2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
  外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
  3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
  4、重心：重心是三角形三边中线的交点。

• 三角形的外心的性质：
  1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心；
  2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合；
  3.锐角三角形的外心在三角形内；
  钝角三角形的外心在三角形外；
  直角三角形的外心与斜边的中点重合。
  
  在△ABC中
  4.OA=OB=OC=R
  5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA
  6.S△ABC=abc/4R
  
  三角形的内心的性质：
  1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心
  2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
  3.r=2S/(a+b+c)
  4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
  5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2
  6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)
  
  三角形的垂心的性质:
  1.锐角三角形的垂心在三角形内；
  直角三角形的垂心在直角顶点上；
  钝角三角形的垂心在三角形外。
  2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或
  者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
  
  例如在△ABC中
  3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
  4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO?OD=BO?OE=CO?OF
  5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
  6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
  7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP?tanB+ AC/AQ?tanC=tanA+tanB+tanC
  8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
  9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。