题文

如图，⊙O是以∠ACB为直角的△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F． （1）填空：当______时，EF∥AB（填上符合题目要求的一个条件即可）； （2）当EF∥AB时，设⊙O的半径r=1，DE、AC的延长线相交于点G，求GF的长．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵CE=CF， ∴∠CFE=∠CEF， ∵EF∥AB， ∴∠A=∠CFE，∠B=∠CEF． ∴∠A=∠B， 即AC=BC时，EF∥AB； （2）由（1）可知， CE=CF=1，EF= 2 ． ∴AC=BC=2+ 2 ，AB=2 2 +2， 则AD= 2 +1． ∵EF∥AB， ∴△GEF∽△GDA， ∴ GF AG = EF AD ， 即 GF 2 +1+GF = 2 2 +1 ， GF=2+ 2 ．

据专家权威分析，试题“如图，⊙O是以∠ACB为直角的△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F．（1）填..”主要考查你对  三角形的内心、外心、中心、重心  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内心、外心、中心、重心

考点名称：三角形的内心、外心、中心、重心

• 三角形的四心定义：
  1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
  内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
  2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
  外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
  3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
  4、重心：重心是三角形三边中线的交点。

• 三角形的外心的性质：
  1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心；
  2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合；
  3.锐角三角形的外心在三角形内；
  钝角三角形的外心在三角形外；
  直角三角形的外心与斜边的中点重合。
  
  在△ABC中
  4.OA=OB=OC=R
  5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA
  6.S△ABC=abc/4R
  
  三角形的内心的性质：
  1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心
  2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
  3.r=2S/(a+b+c)