题文

在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，2）． （1）在平面直角坐标系中，我们把横坐标、纵坐标都为整数的点称为整数点，请在第一象限内求作一个整数点C，使得AC=BC，且AC的长为小于4的无理数，则C点的坐标是______，△ABC的面积是______； （2）试求出△ABC外接圆的半径．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）作AB的垂直平分线，从图形中可以看出C点的坐标是C1（1，1），C2（5，5） 过A作AH⊥Y轴于H，过B作BM⊥Y轴于M，BF⊥X轴于F，过C作CG⊥Y轴于G，CE⊥X轴于E， 当C1（1，1）时，S△ABC=S梯形AHMB+S矩形BMOF-S梯形AHGC-S正方形OGCE-S梯形CEFB， = 1 2 ×（2+4）×2+4×2- 1 2 ×（1+2）×（4-1）-1×1- 1 2 ×（1+2）×（4-1）， =4； 当C2（5，5）时，同法可求S△ABC=4； 故答案为：（1，1）和（5，5），4． （2）如图，在△ABC中，作CD⊥AB于D，连接AE，E为圆心， ∵由勾股定理得：AC=BC= 10 ，AB=2 2 ， ∴CD=2 2 ， 设半径AE=CE=x，则x2=（ 2 ）2+（2 2 -x）2， ∴半径x= 5 4 2 ． 答：△ABC外接圆的半径是 5 4 2 ．

据专家权威分析，试题“在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，2）．（1）在平..”主要考查你对  三角形的内心、外心、中心、重心  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内心、外心、中心、重心

考点名称：三角形的内心、外心、中心、重心

• 三角形的四心定义：
  1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
  内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
  2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
  外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
  3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
  4、重心：重心是三角形三边中线的交点。

• 三角形的外心的性质：
  1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心；
  2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合；
  3.锐角三角形的外心在三角形内；