题文

下列命题中： ①铺成一片不留空隙的平面图形只有正六边形和正三角形两种图形； ②两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形； ③平分弦的直径垂直于弦； ④等腰三角形的周长是24cm，腰长为xcm，则x的取值范围是6cm≤xcm＜12cm； ⑤边长为3、4的直角三角形的第三边是5． ⑥三角形的内切圆半径为 2S a+b+c （S表示三角形的面积，a，b，C是三边长） ⑦同弧所对的圆周角大于同弧圆外角小于同弧所的圆内角．其中正确命题的是（　　） A．全对 B．（6）和（7） C．全不对 D．（4、5、6、7）

题型：单选题  难度：中档

答案

①铺成一片不留空隙的平面图形只有正六边形和正三角形两种图形；根据正方形也可以铺成一片不留空隙的平面图形，故此选项错误； ②两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形；根据两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故此选项错误； ③平分弦的直径垂直于弦；根据平分弦（弦不为直径）的直径垂直于弦，故此选项错误； ④等腰三角形的周长是24cm，腰长为xcm，则x的取值范围是6cm≤xcm＜12cm；当x=6，此时底边长为24-6-6=12，无法构成三角形，故此选项错误； ⑤边长为3、4的直角三角形的第三边是5，根据4可以为直角边或斜边得出第三边为5或 7 ．故此选项错误； ⑥三角形的内切圆半径为 2S a+b+c （S表示三角形的面积，a，b，C是三边长），根据三角形面积可以得出， ∵S△ABC= 1 2 （cr+ar+br）= 1 2 r（a+b+c）， ∴r= 2S a+b+c ， 故此选项正确； ⑦同弧所对的圆周角大于同弧圆外角小于同弧所的圆内角， 如图所示， 故此选项正确； 故正确的有⑥⑦， 故选：B．

据专家权威分析，试题“下列命题中：①铺成一片不留空隙的平面图形只有正六边形和正三角形..”主要考查你对  三角形的内心、外心、中心、重心  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内心、外心、中心、重心

考点名称：三角形的内心、外心、中心、重心

• 三角形的四心定义：
  1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
  内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
  2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
  外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
  3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
  4、重心：重心是三角形三边中线的交点。

• 三角形的外心的性质：
  1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心；
  2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合；
  3.锐角三角形的外心在三角形内；
  钝角三角形的外心在三角形外；
  直角三角形的外心与斜边的中点重合。
  
  在△ABC中
  4.OA=OB=OC=R
  5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA
  6.S△ABC=abc/4R
  
  三角形的内心的性质：
  1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心
  2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
  3.r=2S/(a+b+c)
  4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
  5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2
  6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)
  
  三角形的垂心的性质:
  1.锐角三角形的垂心在三角形内；
  直角三角形的垂心在直角顶点上；
  钝角三角形的垂心在三角形外。
  2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或
  者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
  
  例如在△ABC中
  3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
  4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO?OD=BO?OE=CO?OF
  5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
  6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
  7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP?tanB+ AC/AQ?tanC=tanA+tanB+tanC
  8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
  9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
  10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
  11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
  12.西姆松(Simson)定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上
  13.设锐角△ABC内有一点P，那么P是垂心的充分必要条件是PB?PC?BC+PB?PA?AB+PA?PC?AC=AB?BC?CA。