题文

已知：如图，直径为OA的⊙M与x轴交于点O、A，点B、C把 OA 分为三等份，连接MC并延长交y轴于点D（0，3） （1）求证：△OMD≌△BAO； （2）若直线l：y=kx+b把⊙M的面积分为二等份，求证： 3 k+b=0．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：（1）连接BM，∵B、C把 OA 三等分，∴∠1=∠5=60°，1分 又∵OM=BM，∴∠2= 1 2 ∠5=30°，2分 又∵OA为⊙M直径，∴∠ABO=90°，∴AB= 1 2 OA=OM，∠3=60°，3分 ∴∠1=∠3，∠DOM=∠ABO=90°，4分 在△OMD和△BAO中， ∠1=∠3 OM=AB ∠DOM=∠ABO 5分 ∴△OMD≌△BAO（ASA）．6分 （2）若直线l把⊙M的面积分为二等份， 则直线l必过圆心M，7分 ∵D（0，3），∠1=60°， ∴OM= OD tan60° = 3 3 = 3 ， ∴M( 3 ，0)，8分 把M（ 3 ，0）代入y=kx+b得： 3 k+b=0．

据专家权威分析，试题“已知：如图，直径为OA的⊙M与x轴交于点O、A，点B、C把OA分为三等份..”主要考查你对  三角形的内心、外心、中心、重心  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内心、外心、中心、重心

考点名称：三角形的内心、外心、中心、重心

• 三角形的四心定义：
  1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
  内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
  2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
  外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
  3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
  4、重心：重心是三角形三边中线的交点。

• 三角形的外心的性质：
  1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心；
  2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合；
  3.锐角三角形的外心在三角形内；
  钝角三角形的外心在三角形外；
  直角三角形的外心与斜边的中点重合。