已知:在△ABC中,∠ABC=90°,点E在直线AB上,ED与直线AC垂直,垂足为D,且点M为EC中点,连接BM,DM.(1)如图1,若点E在线段AB上,探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系,-九年级数学
题文
已知:在△ABC中,∠ABC=90°,点E在直线AB上,ED与直线AC垂直,垂足为D,且点M为EC中点,连接BM,DM. |
(1)如图1,若点E在线段AB上,探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系,并直接写出你得到的结论; (2)如图2,若点E在BA延长线上,你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明: (3)若点E在AB延长线上,请你根据条件画出相应的图形,并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系. |
答案
解:(1)结论:BM=DM,∠BMD=2∠BCD. (2)在(1)中得到的结论仍然成立.即BM=DM,∠BMD=2∠BCD. 证明:∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点, ∴BM=EC=MC, 又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点, ∴DM=EC=MC. ∴BM=DM. ∵BM=MC,BM=MC, ∴∠CBM=∠BCM,∠DCM=∠CDM. ∴∠BMD=∠EMB-∠EMD=2∠BCM-2∠DCM =2(∠BCM-∠DCM)=2∠BCD. 即∠BMD=2∠BCD. (3)所画图形如图所示: 图1中有BM=DM,∠BMD=2∠BCD; 图2中∠BCD不存在,有BM=DM; 图3中有BM=DM,∠BMD=360°-2∠BCD. |
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据专家权威分析,试题“已知:在△ABC中,∠ABC=90°,点E在直线AB上,ED与直线AC垂直,垂足..”主要考查你对 直角三角形的性质及判定 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
直角三角形的性质及判定
考点名称:直角三角形的性质及判定
- 直角三角形定义:
有一个角为90°的三角形,叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示,如直角三角形ABC写作Rt△ABC。 直角三角形性质:
直角三角形是一种特殊的三角形,它除了具有一般三角形的性质外,具有一些特殊的性质:
性质1:直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方。即。如图,∠BAC=90°,则AB2+AC2=BC2(勾股定理)
性质2:在直角三角形中,两个锐角互余。如图,若∠BAC=90°,则∠B+∠C=90°
性质3:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半(即直角三角形的外心位于斜边的中点,外接圆半径R=C/2)。
性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5:
如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:
(1)(AD)2=BD·DC。
(2)(AB)2=BD·BC。
(3)(AC)2=CD·BC。
性质6:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°。
性质7:如图,1/AB2+1/AC2=1/AD2
性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
性质9:直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则 BD:DC=AB:AC直角三角形的判定方法:
判定1:定义,有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2:判定定理:以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a,b,c满足,那么这个三角形就是直角三角形。(勾股定理的逆定理)。
判定3:若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半,则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4:两个锐角互为余角(两角相加等于90°)的三角形是直角三角形。
判定5:若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数,则两直线互相垂直。那么
判定6:若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半,那么这个三角形为直角三角形。
判定7:一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半,则这个三角形为直角三角形。(与判定3不同,此定理用于已知斜边的三角形。)
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