题文

以Rt△AOB的直角边OA、OB为y轴，x轴建立直角坐标系，AO=b，BO=a，（a＞b），Q是边OB上的动点，点Q不与B、O重合，点P是AB的中点． （1）请写出A、B的坐标； （2）若以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，这时的Q点能有几个，请说明理由并分别求出相应的Q点、P点的坐标．

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）A的坐标是（0，b），B的坐标是（a，0）． （2）∵∠AOB=90°，P为AB中点， ∴AP=OP=PB， ∴∠POB=∠ABO． 如图Q点有2个， 图1中，PQ⊥OB， 则∠OQP=∠AOB=90°， ∵∠POB=∠ABO， ∴以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似， ∵PQ∥OA， ∴===， ∴PQ=b，BQ=0Q=a， 即P（a，b），Q（a，0）； 图2中，∠QPO=90°=∠AOB， ∵∠POB=∠ABO， ∴以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似， 在△AOB中，由勾股定理得：AB=，OP=， ∴=， ∴=， ∴OQ=， 即P（a，b），Q（，0）．

据专家权威分析，试题“以Rt△AOB的直角边OA、OB为y轴，x轴建立直角坐标系，AO=b，BO=a，..”主要考查你对  直角三角形的性质及判定，相似三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定相似三角形的判定

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：
  直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
  性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
  性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
  性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
  性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
  性质5:
  
  如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
  （1）（AD)2=BD·DC。
  （2）（AB)2=BD·BC。
  （3）（AC)2=CD·BC。
  性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
  在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
  性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2
  性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
  性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则    BD:DC=AB:AC

• 直角三角形的判定方法：
  判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
  判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。