题文

已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）求△ABC的面积； （2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ （3）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1） （2）根据题意：AP=tcm，BQ=tcm △ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°， ∴BP=（3-t ）cm △PBQ中，BP=3-t，BQ=t， 若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90° 当∠BQP=90°时，BQ=BP 即t=（3-t ）， t=1 （秒） 当∠BPQ=90°时，BP=BQ 3-t=t， t=2 （秒） 答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形。

（3）过P作PM⊥BC于M Rt△BPM中，sin∠B=， ∴PM=PB·sin∠B=（3-t ） ∴S△PBQ=BQ·PM=· t ·（3-t ） ∴y=S△ABC-S△PBQ=×32×-· t ·（3-t ） = ∴y与t的关系式为：y= 假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的， 则S四边形APQC=S△ABC ∴= ∴t2-3t+3=0 ∵（-3）2-4×1×3＜0， ∴方程无解 ∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的。

据专家权威分析，试题“已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点..”主要考查你对  直角三角形的性质及判定，三角形的周长和面积  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定三角形的周长和面积

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：
  直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
  性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
  性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
  性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
  性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
  性质5:
  
  如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
  （1）（AD)2=BD·DC。
  （2）（AB)2=BD·BC。
  （3）（AC)2=CD·BC。
  性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
  在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
  性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2
  性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
  性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则    BD:DC=AB:AC

• 直角三角形的判定方法：