题文

如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D地边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上． （1）求证：△ADE≌△BGF； （2）若正方形DEFG的面积为16cm2，求AC的长．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°， ∴∠B=∠A=45°， ∵四边形DEFG是正方形， ∴∠BFG=∠AED=90°， 故可得出∠BGF=∠ADE=45°，GF=ED， ∵在△ADE与△BGF中， ∠BFG=∠AED GF=DE ∠BGF=∠ADE ， ∴△ADE≌△BGF（ASA）； （2）过点C作CG⊥AB于点G， ∵正方形DEFG的面积为16cm2， ∴DE=AE=4cm， ∴AB=3DE=12cm， ∵△ABC是等腰直角三角形，CG⊥AB， ∴AG= 1 2 AB= 1 2 ×12=6cm， 在Rt△ADE中， ∵DE=AE=4cm， ∴AD= AE2+DE2 = 42+42 =4 2 cm， ∵CG⊥AB，DE⊥AB， ∴CG∥DE， ∴△ADE∽△ACG， ∴ AE AG = AD AC ， 4 6 = 4 2 AC ， 解得AC=6 2 cm．

据专家权威分析，试题“如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D地边AC上，点E..”主要考查你对  直角三角形的性质及判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：
  直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
  性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
  性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
  性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
  性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
  性质5:
  
  如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
  （1）（AD)2=BD·DC。
  （2）（AB)2=BD·BC。
  （3）（AC)2=CD·BC。
  性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
  在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
  性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2