题文

如图，AB是圆O的直径，AB=10，点C是圆O上一动点（与A，B不重合），∠ACB的平分线交圆O于D． （1）判断△ABD的形状，并证明你的结论； （2）若I是△ABC的内心，当点C运动时，CI、DI中是否存在长度保持不变的线段？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）△ABD是等腰直角三角形．理由如下： ∵AB是圆O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵CD平分∠ACB， ∴ AD = BD ， ∴AD=BD， ∴△ABD是等腰直角三角形； （2）DI的长度不变，且DI=5 2 在Rt△ABD中， ∵AD=BD，AB=10， ∴BD=5 2 ， 连接OI， ∵I是△ABC的内心， ∴∠4=∠5， ∵由（1）可知 AD = BD ， ∴∠1=∠2， ∵∠3是△BCI的外角， ∴∠3=∠1+∠4=∠2+∠5， ∴DI=BD是定值，即DI=BD=5 2 ．

据专家权威分析，试题“如图，AB是圆O的直径，AB=10，点C是圆O上一动点（与A，B不重合），..”主要考查你对  直角三角形的性质及判定，圆心角，圆周角，弧和弦  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定圆心角，圆周角，弧和弦

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：
  直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
  性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
  性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
  性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
  性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
  性质5:
  
  如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
  （1）（AD)2=BD·DC。
  （2）（AB)2=BD·BC。
  （3）（AC)2=CD·BC。
  性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
  在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
  性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2
  性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
  性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则    BD:DC=AB:AC

• 直角三角形的判定方法：
  判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
  判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。
  判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
  判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
  判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么
  判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
  判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）

考点名称：圆心角，圆周角，弧和弦

• 圆的定义:
  在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。
  
  弧：
  圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
  弧用符号“⌒”表示以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。