题文

已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，M是AC的中点，连接BM，CF⊥MB，F是垂足，延长CF交AB于点E．求证：∠AME=∠CMB．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明： 证法一：过A作CB的平行线交CE的延长线于点N． ∵∠ACB=90° ∴∠1+∠NCB=90° ∵CF⊥MB ∴∠2+∠NCB=90° ∴∠1=∠2 ∵AN∥BC且∠ACB=90° ∴∠NAC=90° 在△NAC和△MCB中 ∠1=∠2 AC=CB ∠NAC=∠ACB ∴△NAC≌△MCB（A．S．A） ∴∠N=∠CMB ∵AN=MC ∵M是AB中点∴AM=MC=AN ∵∠ACB=90°AC=BC ∴∠3=∠ABC=45° ∵AN∥BC∴∠4=∠ABC ∴∠3=∠4 在△AME和△ANE中 AM=AN ∠3=∠4 AE=AE ， ∴△AME≌△ANE（S．A．S） ∴∠AME=∠N， ∵∠N=∠CMB ∴∠AME=∠CMB； 证法二：作∠ACB的平分线交BM于点N．                                                         ∵AC=BC∠ACB=90° ∴∠ABC=∠A=45° ∠MCE+∠BCE=90° ∴∠MCE=∠MBC＜∠ABC=45° ∴N点在线段BF上． ∵CN是∠ACB的平分线 ∴∠ACN=∠BCN=45° 在△AEC和△CNB中 ∠A=∠BCN AC=CB ∠ACE=∠MBC ∴△AEC≌△CNB ∴CN=AE ∵M是AB中点 ∴AM=MC 在△AME和△CMN中 ∠A=∠MCN CN=AE AM=MC ∴△AME≌△CMN， ∴∠AME=∠CMB．

据专家权威分析，试题“已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，M是AC的中点，连接BM，CF⊥MB，..”主要考查你对  直角三角形的性质及判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：
  直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
  性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
  性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
  性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
  性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
  性质5:
  
  如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
  （1）（AD)2=BD·DC。
  （2）（AB)2=BD·BC。
  （3）（AC)2=CD·BC。
  性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
  在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
  性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2
  性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
  性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则    BD:DC=AB:AC

• 直角三角形的判定方法：
  判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
  判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。
  判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
  判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
  判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么
  判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
  判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）