题文

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE=CF． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AB=6，BD=3，求BC和AE的长．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1） DE与⊙O的位置关系式相切． 理由是：连接OC， ∵AE⊥CD，CF⊥AB，CE=CF， ∴∠EAC=∠CAF， ∵OA=OC， ∴∠CAF=∠OCA， ∴∠OCA=∠EAC， ∴OC∥AE， ∵AE⊥DE， ∴OC⊥DE， ∵OC为⊙O半径， ∴DE是⊙O的切线， 即DE与⊙O的位置关系式相切． （2） ∵OC⊥DE， ∴∠OCD=90°， ∵AB=6，BD=3， ∴OB=3=BD， 即B为OD中点， ∴CB=OB=BD=3， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， 在△ACB中，AB=6，BC=3，由勾股定理得：AC=3 3 ， 在△ACB中，由三角形的面积公式得： 1 2 ×AC×BC= 1 2 ×AB×CF， ∴ 1 2 ×3 3 ×3= 1 2 ×6×CF， CF= 3 3 2 ， ∵CE=CF， ∴CE= 3 3 2 ， 在Rt△AEC中，AC=3 3 ，CE= 3 3 2 ，由勾股定理得：AE= 9 2 ， 即AE= 9 2 ，BC=3．

据专家权威分析，试题“如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点..”主要考查你对  直角三角形的性质及判定，勾股定理，直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定勾股定理直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。