题文

勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在上图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=8．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，那么△PQR的周长等于______．

题型：填空题  难度：中档

答案

延长BA交QR于点M，连接AR，AP． ∵AC=GC，BC=FC，∠ACB=∠GCF， ∴△ABC≌△GFC， ∴∠CGF=∠BAC=30°， ∴∠HGQ=60°， ∵∠HAC=∠BAD=90°， ∴∠BAC+∠DAH=180°， 又∵AD∥QR， ∴∠RHA+∠DAH=180°， ∴∠RHA=∠BAC=30°， ∴∠QHG=60°， ∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°， ∴△QHG是等边三角形． AC=AB?cos30°=8× 3 2 =4 3 ． 则QH=HA=HG=AC=4 3 ． 在直角△HMA中，HM=AH?sin60°=4 3 × 3 2 =6．AM=HA?cos60°=2 3 ． 在直角△AMR中，MR=AD=AB=8． ∴QR=QH+HM+MR=4 3 +6+8=14+4 3 ． ∴QP=2QR=28+8 3 ． PR=QR? 3 =14 3 +12． ∴△PQR的周长等于RP+QP+QR=54+26 3 ． 故答案为：54+26 3 ．

据专家权威分析，试题“勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了..”主要考查你对  直角三角形的性质及判定，勾股定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定勾股定理

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：
  直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
  性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)