题文

阅读：定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，如图，Rt△ABC中，D为AB中点，则CD=AD=BD= 1 2 AB．（此定理在解决下面的问题中要用到） 应用：如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN； （1）延长MP交CN于点E（如图2）．①求证：△BPM≌△CPE；②求证：PM=PN； （2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由； （3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）①证明：∵BM⊥直线a，CN⊥直线a， ∴∠BMN=∠CNM=90°， ∴BM∥CN， ∴∠MBP=∠PCE， ∵点P为BC边中点， ∴BP=PC， 在△BPM和△CPE中， ∠MBP=∠PCE BP=PC ∠BPM=∠CPE ， ∴△BPM≌△CPE（ASA）； ②∵△BPM≌△CPE， ∴MP=PE， ∵∠MNE=90°， ∴PN=PM； （2）PM=PN还成立． 理由如下：如图3，延长MP与NC延长线交于F， ∵BM⊥直线a，CN⊥直线a， ∴BM∥FN， ∴∠BMP=∠PFC， ∵点P为BC边中点， ∴BP=PC， 在△BMP和△CFP中， ∠BMP=∠PFC BP=PC ∠BPM=∠CPF ， ∴△BMP≌△CFP（ASA）， ∴PM=PF， ∵∠MNF=90°， ∴PM=PN； （3）四边形MBCN是矩形，PM=PN还成立． 理由如下：如图4，∵a∥BC，BM⊥a，CN⊥a， ∴BM∥CN，BM=CN， ∴四边形MBCN是矩形， ∵点P是BC的中点， ∴BP=CP， 在△BMP和△CMN中， BM=CN ∠PBM=∠PCN=90° BP=CP ， ∴△BMP≌△CPN（SAS）， ∴PM=PN．

据专家权威分析，试题“阅读：定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，如图，Rt△AB..”主要考查你对  直角三角形的性质及判定，矩形，矩形的性质，矩形的判定，图形旋转  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定矩形，矩形的性质，矩形的判定图形旋转

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：
  直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
  性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
  性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
  性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
  性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
  性质5:
  
  如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
  （1）（AD)2=BD·DC。
  （2）（AB)2=BD·BC。
  （3）（AC)2=CD·BC。
  性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
  在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
  性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2
  性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
  性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则    BD:DC=AB:AC

• 直角三角形的判定方法：
  判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
  判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。
  判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
  判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
  判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么
  判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
  判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）

考点名称：矩形，矩形的性质，矩形的判定

• 矩形:
  是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。