题文

如图：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是斜边AB的中点，点E、F分别是边AC、BC上两个动点，且ED⊥DF． （1）当E、F分别在AC、BC边上移动时，并保持∠EDF=90°，DE、DF是否相等？请证明你的结论． （2）当E、F分别在AC、BC上移动时，并保持∠EDF=90°，S四边形DECF会随着变化吗？请证明你的结论． （3）S四边形DECF=5cm2时，求AC的长．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）DE=DF． 理由如下：如图，连接CD， ∵AC=BC，D是AB的中点， ∴CD是∠ACB的平分线， 作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分别为点M、N， 则∠DME=∠DNF=90°，DM=DN（角平分线上的点到角的两边距离相等）， 又∵∠C=90°， ∴四边形CMDN是正方形， ∴∠MDN=90°， ∴∠MDF+∠FDN=90°， ∵∠EDF=90°， ∴∠EDM+∠MDF=90°， ∴∠EDM=∠FDN， 在△DEM和△DFN中， ∵ ∠DME=∠DNF=90° DM=DN ∠EDM=∠FDN ， ∴△DEM≌△DFN（ASA）， ∴DE=DF； （2）S四边形DECF不会变化． 理由如下：根据（1）可得△DEM≌△DFN， 所以S△DEM=S△DFN， 所以S四边形DECF=S正方形CMDN， ∵点D是斜边AB边的中点， ∴CD= 1 2 AB（不变）， ∴正方形CMDN的面积不变， ∴S四边形DECF不会变化； （3）∵S四边形DECF=5cm2， ∴ 1 2 CD2=5（正方形的面积等于对角线乘积的一半）， 解得CD= 10 ， AC= 2 CD= 2 × 10 =2 5 （等腰直角三角形斜边等于直角边的 2 倍）．

据专家权威分析，试题“如图：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是斜边AB的中点，点E、F分别是边..”主要考查你对  直角三角形的性质及判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：
  直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
  性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
  性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
  性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
  性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
  性质5:
  
  如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
  （1）（AD)2=BD·DC。
  （2）（AB)2=BD·BC。
  （3）（AC)2=CD·BC。
  性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
  在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
  性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2
  性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
  性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则    BD:DC=AB:AC

• 直角三角形的判定方法：
  判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
  判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。