题文

已知∠MAN，AC平分∠MAN． （1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC； （2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN， ∴∠CAD=∠CAB=60°． 又∠ABC=∠ADC=90°， ∴AD= 1 2 AC，AB= 1 2 AC， ∴AB+AD=AC． （2）结论仍成立．理由如下： 作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．则∠CED=∠CFB=90°， ∵AC平分∠MAN， ∴CE=CF． ∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180° ∴∠CDE=∠ABC， 在△CDE和△CBF中， ∠CDE=∠CBF ∠CED=∠CFB CE=CF ， ∴△CDE≌△CBF（AAS）， ∴DE=BF． ∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN， ∴∠MAC=∠NAC=60°，∴∠ECA=∠FCA=30°， 在Rt△ACE与Rt△ACF中，则有AE= 1 2 AC，AF= 1 2 AC， 则AD+AB=AD+AF+BF=AD+AF+DE=AE+AF= 1 2 AC+ 1 2 AC=AC． ∴AD+AB=AC．

据专家权威分析，试题“已知∠MAN，AC平分∠MAN．（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，..”主要考查你对  直角三角形的性质及判定，角平分线的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定角平分线的性质

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：
  直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
  性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
  性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
  性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
  性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
  性质5:
  
  如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
  （1）（AD)2=BD·DC。
  （2）（AB)2=BD·BC。
  （3）（AC)2=CD·BC。
  性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
  在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
  性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2
  性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
  性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则    BD:DC=AB:AC

• 直角三角形的判定方法：
  判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
  判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。
  判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
  判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
  判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么
  判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
  判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）

考点名称：角平分线的性质

• 角平分线：
  三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。三角形的角平分线交点一定在三角形内部。