题文

如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论： ①四边形CEDF有可能成为正方形；②△DFE是等腰直角三角形；③四边形CEDF的面积是定值；④点C到线段EF的最大距离为 2 ．其中正确的结论是（　　） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③④

题型：单选题  难度：偏易

答案

①当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形，故此选项正确； ②①连接CD； ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB； ∵在△ADE和△CDF中， AE=CF ∠A=∠DCF AD=CD ∴△ADE≌△CDF（SAS）； ∴ED=DF，∠CDF=∠EDA； ∵∠ADE+∠EDC=90°， ∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°， ∴△DFE是等腰直角三角形．故此选项正确； ③∵△ADE≌△CDF， ∴S△ADE=S△CDF． ∵S四边形CEDF=S△CED+S△CFD， ∴S四边形CEDF=S△CED+S△AED， ∴S四边形CEDF=S△ADC． ∵S△ADC= 1 2 S△ABC=4． ∴四边形CEDF的面积是定值4，故本选项正确； ④④△DEF是等腰直角三角形， 2 DE=EF， 当EF∥AB时，∵AE=CF， ∴E，F分别是AC，BC的中点，故EF是△ABC的中位线， ∴EF取最小值= 22+22 =2 2 ， ∵CE=CF=2， ∴此时点C到线段EF的最大距离为 1 2 EF= 2 ．故此选项正确． 故选D．

据专家权威分析，试题“如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别..”主要考查你对  直角三角形的性质及判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：
  直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
  性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
  性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
  性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
  性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
  性质5:
  
  如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
  （1）（AD)2=BD·DC。
  （2）（AB)2=BD·BC。
  （3）（AC)2=CD·BC。
  性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
  在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
  性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2
  性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
  性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则    BD:DC=AB:AC

• 直角三角形的判定方法：
  判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
  判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。
  判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
  判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。