已知如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2(1)求证:AB=BC;(2)过B作BF∥AC交CD的延长线于F,连EF,求证:AE=CF+EF.-数学
题文
已知如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2 (1)求证:AB=BC; (2)过B作BF∥AC交CD的延长线于F,连EF,求证:AE=CF+EF. |
题文
已知如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2 (1)求证:AB=BC; (2)过B作BF∥AC交CD的延长线于F,连EF,求证:AE=CF+EF. |
题型:解答题 难度:中档
答案
(1)证明:∵CD⊥AD, ∴∠ADC=90°, ∴AD2+CD2=AC2, 而AD2+CD2=2AB2, ∴AC2=2AB2, ∵∠ABC=90°, ∴AB2+BC2=AC2, ∴2AB2=AB2+BC2, ∴AB=BC; (2)证明:过B点作BH⊥AC于H,交AE于G点,如图, ∵AB=AC,∠ABC=90°, ∴△ABC为等腰直角三角形, ∴∠3=∠4=∠5=45°, ∵∠AGH+∠GAH=90°,∠2+∠3+∠CAD=90°, ∴∠AGH=∠2+∠3, 而∠AGH=∠1+∠4, ∴∠1=∠2; ∵BF∥AC, ∴∠6=∠3=45°, ∴∠4=∠6, ∵在△ABG和△CBF中,
∴△ABG≌△CBF(ASA), ∴AG=CF,BG=BF, ∵在△BGE和△BFE中,
∴△BGE≌△BFE(SAS), ∴GE=EF, 而AE=AG+GE, ∴AE=CF+EF. |
据专家权威分析,试题“已知如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2(1)求..”主要考查你对 直角三角形的性质及判定,勾股定理 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
直角三角形的性质及判定勾股定理
考点名称:直角三角形的性质及判定
直角三角形性质:
直角三角形是一种特殊的三角形,它除了具有一般三角形的性质外,具有一些特殊的性质:
性质1:直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方。即。如图,∠BAC=90°,则AB2+AC2=BC2(勾股定理)
性质2:在直角三角形中,两个锐角互余。如图,若∠BAC=90°,则∠B+∠C=90°
性质3:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半(即直角三角形的外心位于斜边的中点,外接圆半径R=C/2)。
性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5:
如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:
(1)(AD)2=BD·DC。
(2)(AB)2=BD·BC。
(3)(AC)2=CD·BC。
性质6:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°。
性质7:如图,1/AB2+1/AC2=1/AD2
性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
性质9:直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则 BD:DC=AB:AC
直角三角形的判定方法:
判定1:定义,有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2:判定定理:以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a,b,c满足,那么这个三角形就是直角三角形。(勾股定理的逆定理)。
判定3:若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半,则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4:两个锐角互为余角(两角相加等于90°)的三角形是直角三角形。
判定5:若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数,则两直线互相垂直。那么
判定6:若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半,那么这个三角形为直角三角形。
判定7:一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半,则这个三角形为直角三角形。(与判定3不同,此定理用于已知斜边的三角形。)
考点名称:勾股定理
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