题文

已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论： ①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③2S四边形AEPF=S△ABC；④EF=AP， 当∠EPF在ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有______个．并请证明你认为正确的命题．

题型：解答题  难度：中档

答案

当∠EPF在ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有3个． 理由如下： ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠B=∠C=45°， ∵P为边BC的中点， ∴AP=BP=CP，∠BAP=∠CAP=45°，AP⊥BC， ∴∠EAP=∠FCP， 又∵∠EPA+∠APF=90°，∠FPC+∠APF=90°， ∴∠EPA=∠FPC， 在△EPA和△FPC中 ∠EAP=∠FCP AP=PC ∠EPA=∠FPC ∴△EPA≌△FPC（ASA）， ∴AE=CF，EP=FP，所以①正确； ∴△EPF是等腰直角三角形，所以②正确； ∴四边形AEPF的面积等于△APC的面积， ∴2S四边形AEPF=S△ABC，所以③正确； 又∵EF= 2 PF， 而只有F点为AC的中点时，AP= 2 PF， 即点F为AC的中点时有EF=AP，所以④不一定正确． 所以当∠EPF在ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有①②③，共3个． 故答案为3．

据专家权威分析，试题“已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE..”主要考查你对  直角三角形的性质及判定，图形旋转  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定图形旋转

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：
  直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
  性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
  性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
  性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
  性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
  性质5:
  
  如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
  （1）（AD)2=BD·DC。
  （2）（AB)2=BD·BC。
  （3）（AC)2=CD·BC。
  性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
  在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
  性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2
  性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
  性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则    BD:DC=AB:AC

• 直角三角形的判定方法：
  判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
  判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。
  判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
  判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
  判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么
  判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
  判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）

考点名称：图形旋转

• 定义：
  在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
  图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。

• 图形旋转性质：
  （1）对应点到旋转中心的距离相等。
  （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
  旋转对称中心
  把一个图形绕着一个点旋转一定的角度后，与原来的图形相吻合，这种图形叫做 旋转对称图形，这个定点叫做 旋转对称中心，旋转的角度叫做 旋转角。（旋转角大于0°小于360°）