题文

在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE为高，F是BC的中点，连接DE、EF、FD．则以下结论中一定正确的个数有（　　） ①EF=FD；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等边三角形； ④BE+CD=BC；⑤当∠ABC=45°时，BE= 2 DE． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

题型：单选题  难度：中档

答案

①∵BD、CE为高，∴△BEC、△BDC是直角三角形． ∵F是BC的中点，∴EF=DF= 1 2 BC．故正确； ②∵∠ADB=∠AEC=90°，∠A公共，∴△ABD∽△ACE，得AD：AB=AE：AC．故正确； ③∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°． ∵F是BC的中点，∴EF=BF，DF=CF．∴∠ABF=∠BEF，∠ACB=∠CDF． ∴∠BFE+∠CFD=120°，∠EFD=60°．又EF=FD，∴△DEF是等边三角形．故正确； ④若BE+CD=BC，则可在BC上截取BH=BE，则HC=CD． ∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．又∵BH=BE，HC=CD， ∴∠BHE+∠CHD=120°，∠EHD=60°． 所以存在满足条件的点，假设成立，但一般情况不一定成立，故错误； ⑤当∠ABC=45°时，在Rt△BCE中，BC= 2 BE，在Rt△ABD中，AB=2AD， 由B、C、D、E四点共圆可知，△ADE∽△ABC， ∴ DE BC = AD AB = 1 2 ，即 DE 2 BE = 1 2 ，∴BE= 2 DE，故正确； 故此题选C．

据专家权威分析，试题“在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE为高，F是BC的中点，连接DE、EF、..”主要考查你对  直角三角形的性质及判定，等边三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定等边三角形

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：
  直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
  性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
  性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
  性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
  性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
  性质5:
  
  如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
  （1）（AD)2=BD·DC。
  （2）（AB)2=BD·BC。
  （3）（AC)2=CD·BC。
  性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
  在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
  性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2
  性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
  性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则    BD:DC=AB:AC

• 直角三角形的判定方法：
  判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
  判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。