题文

在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°，AC=8，BC=6，点A，B分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上运动时，点B随着在正y轴上运动（下图），求原点O到点C的距离OC的最大值，并确定此时图形应满足什么条件．

题型：解答题  难度：中档

答案

取斜边AB中点M，连接OM，MC，则△OMC中，两边之和大于第三边，只有O、M、C在一条直线上时候取得最大值 OM=MC= 1 2 AB，AB= BC2+AC2 =10． OC=10， 此时四边形的对角线相等且互相平分，且有一个角是直角，故是矩形．

据专家权威分析，试题“在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°，AC=8，BC=6，点A，B分别在x轴..”主要考查你对  直角三角形的性质及判定，用坐标表示位置  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定用坐标表示位置

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：
  直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
  性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
  性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
  性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
  性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
  性质5:
  
  如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
  （1）（AD)2=BD·DC。
  （2）（AB)2=BD·BC。
  （3）（AC)2=CD·BC。
  性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
  在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
  性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2
  性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
  性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则    BD:DC=AB:AC

• 直角三角形的判定方法：
  判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
  判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。
  判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
  判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
  判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么
  判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
  判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）

考点名称：用坐标表示位置

• 点的坐标的概念：
  点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
  平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。

• 各象限内点的坐标的特征 ：
  点P(x，y)在第一象限；点P(x，y)在第二象限
  点P(x，y)在第三象限；点P(x，y)在第四象限
  
  坐标轴上的点的特征：
  点P(x，y)在x轴上y=0，x为任意实数
  点P(x，y)在y轴上x=0，y为任意实数
  点P(x，y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）。
  
  点P(x，y)到坐标轴及原点的距离：
  （1）点P(x，y)到x轴的距离等于|y|；
  （2）点P(x，y)到y轴的距离等于|x|；
  （3）点P(x，y)到原点的距离等于。

• 坐标表示位置步骤：
  利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况的平面图的过程如下:
  (1)建立坐标系,选择一个适当的参照点为原点,确定X轴、y轴的正方向;
  (2)根据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度;
  (3)在坐标平面内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称。