如图,AB是半圆O的直径,C是半圆上一个动点,AD、BD分别平分∠BAC和∠ABC,延长AD分别与BC、半圆O交于点F、E,连接BE、CE.(1)证明:△ABE∽△BFE;(2)证明:△BDE是等腰直角三角形;-数学-00教育-零零教育信息网
题文
如图,AB是半圆O的直径,C是半圆上一个动点,AD、BD分别平分∠BAC和∠ABC,延长
AD分别与BC、半圆O交于点F、E,连接BE、CE. (1)证明:△ABE∽△BFE; (2)证明:△BDE是等腰直角三角形; (3)如果四边形ABEC是梯形,试求∠ABC的大小. |
题型:解答题 难度:中档
答案
(1)证明:∵AD平分∠BAC, ∴∠CAE=∠BAE.(1分) 又∵∠CAE=∠CBE(同弧所对的圆周角相等), ∴∠CBE=∠BAE.(2分) 又∵∠AEB=∠BEF, ∴△ABE∽△BFE.
(2)证明:∵AB是半圆O的直径, ∴∠DEB=90°.(4分) 又∵AD平分∠BAC,BD平分∠ABC, ∴∠CAE=∠BAE,∠ABD=∠FBD. 又∵∠EDB=∠BAE+∠ABD, ∠EBD=∠CBE+∠FBD ∠CAE=∠CBE(同弧所对的圆周角相等), ∴∠EDB=∠EBD.(5分) ∴△BDE是等腰直角三角形.
(3)∵四边形ABEC是梯形, ∴CE∥AB. ∴∠CEA=∠BAE. 又∵AD平分∠BAC, ∴∠CAE=∠BAE. 又∵∠CEA=∠ABC(同弧所对的圆周角相等), ∴∠CAE=∠BAE=∠ABC. 又∵∠ACB=90°, ∴∠ABC+∠CAE+∠BAE=90°(即3∠ABC=90°). ∴∠ABC=30°. |
据专家权威分析,试题“如图,AB是半圆O的直径,C是半圆上一个动点,AD、BD分别平分∠BAC..”主要考查你对 直角三角形的性质及判定,圆心角,圆周角,弧和弦,相似三角形的性质 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
直角三角形的性质及判定圆心角,圆周角,弧和弦相似三角形的性质
考点名称:直角三角形的性质及判定
考点名称:圆心角,圆周角,弧和弦