题文

如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合） ，连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F． （1）求证：BF=FD； （2）∠A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由； （3）∠A在什么范围内变化时，线段DE上存在点G，满足条件DG= 1 4 DA，并说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：在Rt△AEB中， ∵AC=BC， ∴CE= 1 2 AB， ∴CB=CE， ∴∠CEB=∠CBE． ∵∠CEF=∠CBF=90°， ∴∠BEF=∠EBF， ∴EF=BF． ∵∠BEF+∠FED=90°，∠EBD+∠EDB=90°， ∴∠FED=∠EDF． ∴BF=FD； （2）由（1）BF=FD，而BC=CA， ∴CF∥AD，即AE∥CF． 若AC∥EF，则AC=EF， ∴BC=BF．∴BA=BD，∠A=45°． ∴0°＜∠A＜90°且∠A≠45°时，四边形ACFE为梯形； （3）作GH⊥BD，垂足为H，则GH∥AB． ∵DG= 1 4 DA， ∴DH= 1 4 DB． 又F为BD中点， ∴H为DF的中点． ∴GH为DF的中垂线． ∴∠GDF=∠GFD． ∵点G在ED上， ∴∠EFD≥∠GFD． ∵∠EFD+∠FDE+∠DEF=180°， ∴∠GFD+∠FDE+∠DEF≤180度． ∴3∠EDF≤180度． ∴∠EDF≤60度． 又∠A+∠EDF=90°， ∴30°≤∠A＜90°． ∴当30°≤∠A＜90°时， DE上存在点G，满足条件DG= 1 4 DA．

据专家权威分析，试题“如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点..”主要考查你对  直角三角形的性质及判定，三角形中位线定理，梯形，梯形的中位线  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定三角形中位线定理梯形，梯形的中位线

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：
  直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
  性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
  性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
  性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
  性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
  性质5:
  
  如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
  （1）（AD)2=BD·DC。
  （2）（AB)2=BD·BC。
  （3）（AC)2=CD·BC。
  性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
  在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
  性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2
  性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
  性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则    BD:DC=AB:AC

• 直角三角形的判定方法：
  判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
  判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。
  判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
  判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
  判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么
  判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
  判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）

考点名称：三角形中位线定理

• 三角形中位线定义：
  连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。
  三角形中位线定理：
  三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
  
  如图已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
  则DE平行于BC且等于BC/2

• 三角形中位线逆定理：
  
  逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。