题文

如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD= 1 2 AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”． 请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题： （1）△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，AB=a，则BC=______； （2）如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长=______． （3）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA=______． （4）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且∠CAD=∠ABE，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，猜想PB与PQ的数量关系，并说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，且∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=30，∠C=90°， ∴BC= 1 2 AB= a 2 ． 故填： a 2 ； （2）如图2，∵DE是线段BC的垂直平分线，∠ACB=90°， ∴CD=BD，AD=BD． 又∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°， ∴AC= 1 2 AB， ∴△ACD的周长=AC+AB=3BD=15cm． 故填：15cm； （3）如图3，连接AD． ∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点， ∴∠BAD=60°． 又∵DE⊥AB， ∴∠B=∠ADE=30°， ∴BE= 1 2 BD，AE= 1 2 AD， ∴BE：EA=BD：AD=tan60°= 3 ：1． 故填： 3 ：1． （4）BP=2PQ．理由如下： ∵△ABC为等边三角形． ∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°， 在△BAE和△ACD中， AE=CD ∠BAC=∠ACB AB=AC ， ∴△BAE≌△ACD（SAS）， ∴∠ABE=∠CAD． ∵∠BPQ为△ABP外角， ∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD． ∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60° ∵BQ⊥AD， ∴∠PBQ=30°， ∴BP=2PQ．

据专家权威分析，试题“如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三..”主要考查你对  直角三角形的性质及判定，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，等边三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定等腰三角形的性质，等腰三角形的判定等边三角形

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：
  直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
  性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
  性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
  性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
  性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
  性质5:
  
  如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
  （1）（AD)2=BD·DC。
  （2）（AB)2=BD·BC。
  （3）（AC)2=CD·BC。
  性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。