题文

已知，如图：正方形ABCD，AC是对角线，点P是AC上一点，连接PB，以PB为腰 作等腰直角三角形△PBE，PE与直线AB相交于点F，连接PD，设AP=nPC． （1）如图1直接写出： PD PE =______ （2）如图1当n=2时，求 PF PE 的值． （3）如图2：当点P在AC延长线上，其它条件均不变，当n=______时，PE=5EF．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1） 2 2 ； （2）∵正方形ABCD，AC为其对角线， ∴FAP=∠BCP=45°， ∵等腰Rt△EBP， ∴∠E=∠BPF=∠PAF， ∵∠EFB=∠AFP， ∴∠EBF=∠PBC， ∵∠EBP=∠ABC=90°， ∴∠EBF=∠PBC， ∴△PFA∽△BPC，△EBP∽△ABC， ∴AP：BC=PF：BP，EP：AC=BP：BC， ∴BP：BC=PF：AP， ∴EP：AC=PF：AP，即PF：PE=AP：AC， ∵n=2， ∴AP=2PC， ∴AP：AC=2：3， ∴PF：PE=AP：AC=2：3； （3）∵正方形ABCD，AC为其对角线， ∴∠BAC=∠BCA=45°， ∵等腰直角三角形EBP， ∴∠BEP=∠BPE=45°， ∴△EBP∽△ABC， ∴EP：AC=BP：BC， ∴∠FBE=∠FPA， ∵∠ABC=∠EBP=90°， ∴∠FBE=∠PBC， ∴∠PBC=∠FPA， ∴△PBC∽△FPA， ∴AP：BC=PF：BP， ∴BP：BC=PF：AP， ∵BP：BC=PE：AC， ∴PF：AP=PE：AC，即PE：PF=AC：AP， ∵PE=5EF， ∴PE：PF=5：6， ∴AC：AP=5：6， ∴AP：PC=6：1， ∵AP=nPC， ∴n=6， ∴当n=6时，PE=5EF． 故答案为 2 2 ，6．

据专家权威分析，试题“已知，如图：正方形ABCD，AC是对角线，点P是AC上一点，连接PB，以..”主要考查你对  直角三角形的性质及判定，正方形，正方形的性质，正方形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定正方形，正方形的性质，正方形的判定

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：
  直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
  性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
  性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
  性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
  性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
  性质5:
  
  如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
  （1）（AD)2=BD·DC。
  （2）（AB)2=BD·BC。
  （3）（AC)2=CD·BC。
  性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
  在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
  性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2
  性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
  性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则    BD:DC=AB:AC

• 直角三角形的判定方法：
  判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
  判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。
  判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
  判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
  判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么
  判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
  判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）

考点名称：正方形，正方形的性质，正方形的判定

• 正方形的定义：
  有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
  特殊的长方形。
  四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。
  有一组邻边相等的矩形是正方形。
  有一个角为直角的菱形是正方形。
  对角线平分且相等，并且对角线互相垂直的四边形为正方形。
  对角线相等的菱形是正方形。

• 正方形的性质：
  1、边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直