题文

以下有四个命题： ①斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等 ②两圆相切时连心线必过切点 ③对角线垂直且相等的四边形是平行四边形 ④垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 其中真命题的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

题型：单选题  难度：偏易

答案

①∵直角三角形中有一锐角对应相等， ∴直角三角形中所有的对应角都相等，而斜边对应相等，这样的两个直角三角形全等； ②相切两圆的连心线必过切点，无论是内切还是外切，结论始终成立； ③对角线垂直且相等的四边形不一定是平行四边形，梯形的对角线也可以垂直且相等，所以不正确； ④垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，根据垂径定理应该是垂直于弦的直径平分这条弦，而不是垂直于弦的直线平分这条弦，所以错误． 因此真命题有2个． 故选B．

据专家权威分析，试题“以下有四个命题：①斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等②两圆..”主要考查你对  直角三角形的性质及判定，平行四边形的判定，垂直于直径的弦，圆和圆的位置关系（圆和圆的相离，圆与圆的相交，圆与圆的相切）  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定平行四边形的判定垂直于直径的弦圆和圆的位置关系（圆和圆的相离，圆与圆的相交，圆与圆的相切）

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：
  直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
  性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
  性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
  性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
  性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
  性质5:
  
  如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
  （1）（AD)2=BD·DC。
  （2）（AB)2=BD·BC。
  （3）（AC)2=CD·BC。
  性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
  在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
  性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2
  性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
  性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则    BD:DC=AB:AC

• 直角三角形的判定方法：
  判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
  判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。
  判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
  判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
  判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么
  判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
  判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）

考点名称：平行四边形的判定

• 平行四边形的判定：
  （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
  （2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
  （3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
  （4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
  （5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
  平行四边形的面积：S=底×高。

考点名称：垂直于直径的弦

• 垂径定理：
  垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
  注：
  （1）定理中的直径过圆心即可，可以是直径、半径、过圆心的直线或线段；
  （2）此定理是证明等线段、等角、垂直的主要依据，同时也为圆的有关计算提供了方法和依据。
  
  垂径定理的推论：
  推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
  推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
  推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
  推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
  推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
  (证明时的理论依据就是上面的五条定理)
  但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:

  一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论
  1.平分弦所对的优弧
  2.平分弦所对的劣弧
  （前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）
  3.平分弦 (不是直径)
  4.垂直于弦
  5.经过圆心

考点名称：圆和圆的位置关系（圆和圆的相离，圆与圆的相交，圆与圆的相切）

• 圆和圆的位置关系：
  如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。
  如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。
  如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。
  
  圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

• 圆和圆位置关系的性质与判定：
  设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么
  两圆外离d>R+r（没有交点）
  两圆外切d=R+r （有一个交点，叫切点）
  两圆相交R-r<d<R+r（R≥r）(有两个交点)
  两圆内切d=R-r（R>r） (有一个交点,叫切点)