题文

如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC于M，连CD．下列结论：①AC+CE=AB；②CD= 1 2 AE；③∠CDA=45°；④ AC+AB AM =定值． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

题型：单选题  难度：中档

答案

过E作EQ⊥AB于Q， ∵∠ACB=90°，AE平分∠CAB， ∴CE=EQ， ∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠CBA=∠CAB=45°， ∵EQ⊥AB， ∴∠EQA=∠EQB=90°， 由勾股定理得：AC=AQ， ∴∠QEB=45°=∠CBA， ∴EQ=BQ， ∴AB=AQ+BQ=AC+CE，∴①正确； 作∠ACN=∠BCD，交AD于N， ∵∠CAD= 1 2 ∠CAB=22.5°=∠BAD， ∴∠DBA=90°-22.5°=67.5°， ∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°=∠CAD， ∴∠DBC=∠CAD， ∵AC=BC，∠ACN=∠DCB， ∴△ACN≌△BCD， ∴CN=CD， ∵∠ACN+∠NCE=90°， ∴∠NCB+∠BCD=90°， ∴∠CND=∠CDN=45°， ∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN， ∴AN=CN， ∴∠NCE=∠AEC=67.5°， ∴CN=NE， ∴CD=AN=EN= 1 2 AE， ∴②正确，③正确； 过D作DH⊥AB于H， ∵∠MCD=∠CAD+∠CDA=67.5°， ∠DBA=90°-∠DAB=67.5°， ∴∠MCD=∠DBA， ∵AE平分∠CAB，DM⊥AC，DH⊥AB， ∴DM=DH， 在△DCM和△DBH中 ∠M=∠DHB=90°，∠MCD=∠DBA，DM=DH， ∴△DCM≌△DBH， ∴BH=CM， 由勾股定理得：AM=AH， ∴ AC+AB AM = AC+AH+BH AM = AC+AM+CM AM = 2AM AM =2， ∴④正确； 故选D．

据专家权威分析，试题“如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，..”主要考查你对  直角三角形的性质及判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：
  直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
  性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
  性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
  性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
  性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
  性质5:
  
  如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
  （1）（AD)2=BD·DC。
  （2）（AB)2=BD·BC。
  （3）（AC)2=CD·BC。
  性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
  在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
  性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2
  性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
  性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则    BD:DC=AB:AC

• 直角三角形的判定方法：
  判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
  判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。
  判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
  判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
  判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么
  判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。