题文

如图，已知在等腰Rt△BCD中，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA=DF，延长BF交AC于E，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G （1）试说明：△FBD≌△ACD； （2）试说明：△ABC是等腰三角形； （3）试说明：CE= 1 2 BF； （4）求BG：GE的值（直接写出答案）．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：（1）在等腰Rt△BCD中，BD=CD， ∵∠BDC=90°， ∴∠BDC=∠ADC=90°， ∵在△FBD和△ACD中， DA=DF ∠BDC=∠ADC BD=CD ， ∴△FBD≌△ACD（SAS）； （2）∵△FBD≌△ACD， ∴∠DBF=∠DCA， ∵∠ADC=90°， ∴∠DAC+∠A=90°， ∴∠DBF+∠A=90°， ∴∠AEB=180°-（∠DBF+∠A）=90°， ∵BF平分∠DBC， ∴∠ABF=∠CBF， ∵在△ABE和△CBE中， ∠AEB=∠CEB=90° BE=BE ∠ABF=∠CBF ， ∴△ABE≌△CBE（ASA）， ∴AB=CB， ∴△ABC是等腰三角形； （3）∵△FBD≌△ACD， ∴BF=AC， ∵△ABE≌△CBE， ∴AE=CE= 1 2 AC， ∴CE= 1 2 BF； （4）连接CG，∵在等腰Rt△BCD中，H是BC边的中点， ∴DH垂直平分BC， ∴BG=CG， ∴∠GBC=∠GCB， ∴∠EGC=∠GBC+∠GCB=2∠GBC=45°， ∴△EGC是等腰直角三角形， ∴CG= 2 GE， 即BG= 2 CE， ∴BG：GE= 2 ．

据专家权威分析，试题“如图，已知在等腰Rt△BCD中，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点..”主要考查你对  直角三角形的性质及判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：
  直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
  性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
  性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
  性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
  性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
  性质5:
  
  如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
  （1）（AD)2=BD·DC。
  （2）（AB)2=BD·BC。
  （3）（AC)2=CD·BC。
  性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
  在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
  性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2
  性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
  性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则    BD:DC=AB:AC

• 直角三角形的判定方法：
  判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
  判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。
  判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
  判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。