题文

如图①，已知点D在AB上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且M为EC的中点． （1）求证：△BMD为等腰直角三角形．（思路点拨：考虑M为EC的中点的作用，可以延长DM交BC于N，构造△CMN≌△EMD，于是ED=CN=DA，即可以证明△BND也是等腰直角三角形，且BM是等腰三角形底边的中线就可以了．）请你完成证明过程． （2）将△ADE绕点A再逆时针旋转90°时（如图②所示位置），△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：延长DM交BC于N， ∵∠EDA=∠ABC=90°， ∴DE∥BC， ∴∠DEM=∠MCB， 在△EMD和△CMN中 ∠DEM=∠NCM EM=CM ∠EMD=∠NMC ， ∴△EMD≌△CMN， ∴CN=DE=DA，MN=MD， ∵BA=BC， ∴BD=BN， ∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线， ∴BM⊥DM，∠DBM= 1 2 ∠DBN=45°=∠BDM， ∴△BMD为等腰直角三角形． （2）△BMD为等腰直角三角形的结论仍成立， 证明：作CN∥DE交DM的延长线于N，连接BN， ∴∠E=∠MCN=45°， ∵∠DME=∠NMC，EM=CM， ∴△EMD≌△CMN（ASA）， ∴CN=DE=DA，MN=MD， 又∵∠DAB=180°-∠DAE-∠BAC=90°， ∠BCN=∠BCM+∠NCM=45°+45°=90°， ∴∠DAB=∠BCN， 在△DBA和△NBC中 DA=CN ∠DAB=∠ BA=BC BCN， ∴△DBA≌△NBC， ∴∠DBA=∠NBC，DB=BN， ∴∠DBN=∠ABC=90°， ∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线， ∴BM⊥DM，∠DBM= 1 2 ∠DBN=45°=∠BDM， ∴△BMD为等腰直角三角形．

据专家权威分析，试题“如图①，已知点D在AB上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠AD..”主要考查你对  直角三角形的性质及判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：
  直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
  性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
  性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
  性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
  性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
  性质5:
  
  如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
  （1）（AD)2=BD·DC。
  （2）（AB)2=BD·BC。
  （3）（AC)2=CD·BC。
  性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
  在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
  性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2
  性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
  性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则    BD:DC=AB:AC

• 直角三角形的判定方法：
  判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
  判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。
  判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
  判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
  判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么
  判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
  判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）