题文

如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，BC=8cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒2厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t秒． （1）求AB的长； （2）当t为多少时，△ABD的面积为10cm2？ （3）当t为多少时，△ABD≌△ACE，并简要说明理由（可在备用图中画出具体图形）．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°， ∴2AB2=BC2， ∴AB= BC 2 =4 2 cm； （2）过A作AF⊥BC交BC于点F，则AF= 1 2 BC=4cm， ∵S△ABD=10cm2 ∴AF×BD=20， ∴BD=5cm． 若D在B点右侧，则CD=3cm，t=1.5s； 若D在B点左侧，则CD=13cm，t=6.5s． （3）动点E从点C沿射线CM方向运动2秒或当动点E从点C沿射线CM的反向延长线方向运动6秒时，△ABD≌△ACE． 理由如下：（说理过程简要说明即可） ①当E在射线CM上时，D必在CB上，则需BD=CE． ∵CE=t，BD=8-2t ∴t=8-2t， ∴t= 8 3 ， 证明：在△ABD和△ACE中 ∵ AB=AC ∠B=∠ACE=45° BD=CE ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）． ②当E在CM的反向延长线上时，D必在CB延长线上，则需BD=CE． ∵CE=t，BD=2t-8， ∴t=2t-8， ∴t=8， 证明：在△ABD和△ACE中 ∵ AB=BC ∠ABD=∠ACE=135° BD=CE ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）．

据专家权威分析，试题“如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，BC=8cm，直线CM⊥BC，动点..”主要考查你对  直角三角形的性质及判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：
  直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
  性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
  性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
  性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
  性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
  性质5:
  
  如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
  （1）（AD)2=BD·DC。
  （2）（AB)2=BD·BC。
  （3）（AC)2=CD·BC。
  性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
  在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
  性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2
  性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
  性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则    BD:DC=AB:AC

• 直角三角形的判定方法：
  判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
  判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。
  判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
  判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
  判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么
  判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
  判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）