如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=2，点E为线段AB上任意一点（E不与B重合），以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列结论：①∠BCE=∠ACD；②∠BCE=∠AED；③BE=AD；④AD∥BC；⑤四边形-数学
题文
| 如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=2，点E为线段AB上任意一点（E不与B重合），以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列结论： ①∠BCE=∠ACD；②∠BCE=∠AED；③BE=AD；④AD∥BC；⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为
其中正确的结论有（ ）个．
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答案
| ∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△， ∴AB=AC=
∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°； ①∵∠ACB=∠DCE=45°， ∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE； 即∠ECB=∠DCA；故①正确； ②∵∠AED+∠DEC+∠BEC=180°，∠DEC=45°， ∴∠AED+∠BEC=135°， 又∵∠BCE+∠BEC=180°-∠B=180°-45°=135°， ∴∠AED=∠BCE，故此选项正确； ③∵
∴
由①知∠ECB=∠DCA， ∴△BEC∽△ADC； ∴
∴BE≠AD，故此选项错误； ④∵△BEC∽△ADC； ∴∠DAC=∠B=45°； ∴∠DAC=∠BCA=45°， 即AD∥BC，故④正确； ⑤△ABC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大； △ACD中，AD边上的高为定值（即为1），若△ACD的面积最大，则AD的长最大； 由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长； 故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC=AC=
故S梯形ABCD=
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