题文

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=3，点D是边AB上的动点（点D与点A、B不重合），过点D作DE⊥AB交射线AC于E，连接BE，点F是BE的中点，连接CD、CF、DF． （1）当点E在边AC上（点E与点C不重合）时，设AD=x，CE=y． ①直接写出y关于x的函数关系式及定义域； ②求证：△CDF是等边三角形； （2）如果BE=2 7 ，请直接写出AD的长．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）①∵∠A=60°，DE⊥AB， ∴∠AED=90°-60°=30°， ∴AE=2AD=2x， 又AC=AE+CE， 即3=2x+y， ∴y=-2x+3；定义域：0＜x＜ 3 2 ；…（2分） ②证明：在Rt△ECB和Rt△EDB中，∠ECB=∠EDB=90°． ∵点F是BE的中点， ∴CF=DF= 1 2 BE=BF．…（1分） ∴∠FCB=∠CBF，∠FDB=∠DBF．…（1分） ∴∠CFE=2∠CBF，∠DFE=2∠DBF． ∴∠CFE+∠DFE=2（∠CBF+∠DBF）． 即∠CFD=2∠CBA．…（1分） ∵∠A=60°，∴∠ABC=90°-60°=30°． ∴∠CFD=60°．…（1分） ∴△CDF是等边三角形．…（1分） （2）∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=3， ∴BC=3tan60°=3 3 ， 在Rt△BCE中，CE= BE2-BC2 = (2 7 )2-(3 3 )2 =1， 当点E在AC上时，AD= 1 2 AE= 1 2 （3-1）=1， 当点E在射线AC上时，AD= 1 2 AE= 1 2 （3+1）=2， ∴AD的长是1或2． …（一解正确得2分；两解正确得3分）

据专家权威分析，试题“如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=3，点D是边AB上的动点（点..”主要考查你对  直角三角形的性质及判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：
  直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
  性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
  性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
  性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
  性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
  性质5:
  
  如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
  （1）（AD)2=BD·DC。
  （2）（AB)2=BD·BC。
  （3）（AC)2=CD·BC。
  性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。