题文

如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD-AH=AB；④DG=AP+GH．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④

题型：单选题  难度：偏易

答案

①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线， ∴∠ABP= 1 2 ∠ABC， ∠CAP= 1 2 （90°+∠ABC）=45°+ 1 2 ∠ABC， 在△ABP中，∠APB=180°-∠BAP-∠ABP， =180°-（45°+ 1 2 ∠ABC+90°-∠ABC）- 1 2 ∠ABC， =180°-45°- 1 2 ∠ABC-90°+∠ABC- 1 2 ∠ABC， =45°，故本小题正确； ②③∵∠ACB=90°，PF⊥AD， ∴∠FDP+∠HAP=90°，∠AHP+∠HAP=90°， ∴∠AHP=∠FDP， ∵PF⊥AD， ∴∠APH=∠FPD=90°， 在△AHP与△FDP中， ∠AHP=∠FDP ∠APH=∠FPD=90° AP=PF ， ∴△AHP≌△FDP（AAS）， ∴DF=AH， ∵AD为∠BAC的外角平分线，∠PFD=∠HAP， ∴∠PAE+∠BAP=180°， 又∵∠PFD+∠BFP=180°， ∴∠PAE=∠PFD， ∵∠ABC的角平分线， ∴∠ABP=∠FBP， 在△ABP与△FBP中， ∠PAE=∠PFD ∠ABP=∠FBP PB=PB ， ∴△ABP≌△FBP（AAS）， ∴AB=BF，AP=PF故②小题正确； ∵BD=DF+BF， ∴BD=AH+AB， ∴BD-AH=AB，故③小题正确； ④∵PF⊥AD，∠ACB=90°， ∴AG⊥DH， ∵AP=PF，PF⊥AD， ∴∠PAF=45°， ∴∠ADG=∠DAG=45°， ∴DG=AG， ∵∠PAF=45°，AG⊥DH， ∴△ADG与△FGH都是等腰直角三角形， ∴DG=AG，GH=GF， ∴DG=GH+AF， ∵AF＞AP， ∴DG=AP+GH不成立，故本小题错误， 综上所述①②③正确． 故选A．

据专家权威分析，试题“如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线..”主要考查你对  直角三角形的性质及判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：
  直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
  性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
  性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
  性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
  性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
  性质5:
  
  如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
  （1）（AD)2=BD·DC。
  （2）（AB)2=BD·BC。
  （3）（AC)2=CD·BC。
  性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
  在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
  性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2
  性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
  性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则    BD:DC=AB:AC