题文

如图1，点C将线段AB分成两部分，如果 AC AB = BC AC ，那么称点C为线段AB的黄金分割点． （1）某研究小组在进行课题学习时，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果 S1 S = S2 S1 ，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图2） 问题．试在图3的梯形中画出至少五条黄金分割线，并说明理由． （2）类似“黄金分割线”得“黄金分割面”定义：截面a将一个体积为V的图形分成体积为V1、V2的两个图形，且 V1 V = V2 V1 ，则称直线a为该图形的黄金分割面． 问题：如图4，长方体ABCD-EFGH中，T是线段AB上的黄金分割点，证明经过T点且平行于平面BCGF的截面QRST是长方体的黄金分割面．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）如图，先在梯形的中位线EF上找一个黄金分割点G，过点G作一条直线L交AD于点M，交BC于N，则MN就是梯形的黄金分割线． ∵EG：EF=GF：EG， ∴EG×h：EF×h=GF×h：EG×h， ∵S梯形ABNM=EG×h，S梯形MNCD=GF×h，S梯形ABCD=EF×h（h是梯形的高）， ∴S梯形ABNM：S梯形ABCD=S梯形NMCD：S梯形ABNM， ∵直线L是过G的任意一条与AD，BC都相交的直线， ∴符合题意的黄金分割线有无穷多条． （2）∵AT：AB=TB：AT， ∴S矩形QRST=S矩形BCGF， ∵AT×S矩形QRST：AB×S矩形BCGF=TB×S矩形ADHE：AT×S矩形QRST， 即截面QRST将体积为V的长方体，分成左右两块体积分别是V1，V2， ∴V1：V=V2：V1， ∴截面QRST是长方体的黄金分割面．

据专家权威分析，试题“如图1，点C将线段AB分成两部分，如果ACAB=BCAC，那么称点C为线段..”主要考查你对  直角三角形的性质及判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：
  直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
  性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
  性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
  性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
  性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
  性质5:
  
  如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
  （1）（AD)2=BD·DC。
  （2）（AB)2=BD·BC。
  （3）（AC)2=CD·BC。
  性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
  在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
  性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2
  性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
  性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则    BD:DC=AB:AC

• 直角三角形的判定方法：
  判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
  判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。
  判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
  判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
  判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么
  判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
  判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）