题文

在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B≠90°，点E、F分别是对角线AC、BD的中点． （1）请画出符合条件的图形，连接EF，试判断线段EF与线段AC之间有怎样的关系，并证明你所得到的结论． （2）当EF= 1 4 BD时，求∠ADC的大小．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）如图，EF垂直平分AC．理由如下： 连接AE、CE， ∵∠A=∠C=90°， 点E、F分别是对角线AC、BD的中点， ∴AE=CE= 1 2 BD， ∴EF垂直平分AC． （2）∵EF= 1 4 BD，AE=CE= 1 2 BD， ∴EF= 1 2 AE． ∵EF⊥AC，∠ECA=∠EAC=30°， ∴∠AEC=180°-∠ECA-∠EAC=120°， ∵AE=DE= 1 2 BD， ∴∠AEB=∠ADE+∠DAE，=2∠ADE， ∴∠ADE= 1 2 ∠AEB， 同理∠CDE= 1 2 ∠CEB， 如图1，∠ADC= 1 2 ∠AEB+ 1 2 ∠CEB= 1 2 ∠AEC=60°； 如图2，∠ADC= 1 2 ∠AEB+ 1 2 ∠CEB= 1 2 (360°-∠AEC)=120°． 答：∠ADC的大小是60°或120°．

据专家权威分析，试题“在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B≠90°，点E、F分别是对角线AC、BD的..”主要考查你对  直角三角形的性质及判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：
  直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
  性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
  性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
  性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
  性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
  性质5: