题文

课堂上，周老师出示了以下问题，小明、小聪分别在黑板上进行了板演，请你也解答这个问题：在一张长方形ABCD纸片中，AD=25cm，AB=20cm。现将这张纸片按如下列图示方式折叠，分别求折痕的长。  （1） 如图1，折痕为AE； （2）如图2，P，Q分别为AB，CD的中点，折痕为AE； （3）如图3， 折痕为EF。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵ 由折叠可知△ABE为等腰直角三角形，                   ∴ AE=AB=20cm；       （2） ∵ 由折叠可知，AG=AB ，∠GAE=∠BAE， ∵ 点P为AB的中点，                  ∴ AP=AB， ∴ AP=AG，                 在Rt△APG中，得∠GAP=60°，∴ ∠EAB=30°，                 在Rt△EAB中， AE=AB=cm     （3）过点E作EH⊥AD于点H，连BF，由折叠可知 DE=BE，           ∵ AF=FG，DF=AB，GD=AB，         ∴ △ABF≌△GDF，又 ∵ ∠GDF=∠CDE，GD=CD，           ∴ Rt△GDF≌Rt△CDE，        ∴ DF=DE=BE，         在Rt△DCE中， DC2+CE2=DE2，        ∵ CB=25，CD=20，202 + CE2=（25-CE）2，        ∴ CE=4.5，BE=25-4.5=20.5，HF=20.5-4.5=16，        在Rt△EHF中，        ∵ EH2 + HF2=FE2， 202 + 162=FE2，          ∴ EF==cm

据专家权威分析，试题“课堂上，周老师出示了以下问题，小明、小聪分别在黑板上进行了板..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质及判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定直角三角形的性质及判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：
  直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
  性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
  性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
  性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
  性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
  性质5:
  
  如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
  （1）（AD)2=BD·DC。
  （2）（AB)2=BD·BC。
  （3）（AC)2=CD·BC。
  性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。