题文

已知，如图，△ABC中，AB=AC，E在CA的延长线上，∠AEF=∠AFE。 求证：EF⊥ BC。

题型：证明题  难度：中档

答案

证法一：如图1，作BC边上的高AD，D为垂足， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠CAD 又∵∠BAC=∠E+∠AFE，∠AEF=∠AFE ∴∠CAD=∠E， ∴AD∥EF ∵AD⊥BC， ∴EF⊥BC 证法二：如图2，过点A作AG⊥EF于G  ∵∠AEF=∠AFE，AG=AG，∠AGE=∠AGF=90°， ∴△AGE≌△AGF ∵AB=AC， ∴∠B=∠C 又∵∠EAF=∠B+∠C， ∴∠EAG+∠GAF=∠B+∠C ∴∠EAG=∠C， ∴AG∥BC ∵AG⊥EF， ∴EF⊥BC 证法三：如图3，过点E作EH∥BC交BA的延长线于H  ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠H=∠B=∠C=∠AEH， ∵∠AEF=∠AFE，∠H+∠AFE+∠FEH=180°， ∴∠H+∠AEH+∠AEF+∠AFE=180°， ∴∠AEF+∠AEH=90°，即∠FEH=90°， ∴EF⊥EH，又EH∥BC， ∴EF⊥BC 证法四：如图4，延长EF交BC于K  ∵AB=AC， ∴∠B=∠C ∴∠B=（180°-∠BAC） ∵∠AEF=∠AFE， ∴∠AFE=（180°-∠EAF） ∵∠BFK=∠AFE ∴∠BFK=（180°-∠EAF） ∴∠B+∠BFK=（180°-∠BAC）+（180°-∠EAF） =[360°-（∠EAF+∠BAC）] ∵∠EAF+∠BAC=180°， ∴∠B+∠BFK=90°， 即∠FKB=90° ∴EF⊥BC

据专家权威分析，试题“已知，如图，△ABC中，AB=AC，E在CA的延长线上，∠AEF=∠AFE。求证：..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。