题文

如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，且AB=AC=4，P为AB上一点，过P作PE⊥AB分别BC、OA于E、F。 （1）设AP=1，求△OEF的面积； （2）设AP=a （0＜a＜2），△APF、△OEF的面积分别记为S1、S2。 ①若S1=S2，求a的值； ②若S=S1+S2，是否存在一个实数a，使S＜？若存在，求出一个a的值；若不存在，说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）BC是⊙O的直径，∠BAC=90°， AB=AC，∠B=∠C=45°，OA⊥BC，∠B=∠1=45°， PE⊥AB，∠2=∠1=45°，∠4=∠3=45°， 则△APF、△OEF与△OAB均为等腰直角三角形， AP=1，AB=4，AF=，OA=2，OE=OF=， △OEF的面积为； （2）①PF=AP=a，， 且AF=，OE=OF=-=（2-a）， ， ， ∵， ∴ ② 当时，S取得最小值为， ∵， ∴不存在这样实数a，使S＜。

据专家权威分析，试题“如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，且AB=AC=4，P为AB上一点，过P作..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。