题文

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，）。

（1）求抛物线的函数表达式； （2）设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标； （3）若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵抛物线的顶点为（1，）， ∴设抛物线的函数关系式为y=a（x-1）2+， ∵抛物线与y轴交于点C（0，4）， ∴a（0-1）2+=4，解得a=-， ∴所求抛物线的函数关系式为y=-（x-1）2+； （2）解：P1（1，），P2（1，-），P3（1，8），P4（1，）； （3）解：令-（x-1）2+=0，解得x1=-2，x1=4， ∴抛物线y=-（x-1）2+与x轴的交点为A（-2，0）C（4，0）， 过点F作FM⊥OB于点M， ∵EF∥AC， ∴△BEF∽△BAC， ∴， 又∵OC=4，AB=6， ∴MF=×OC=EB， 设E点坐标为（x，0），则EB=4-x，MF=（4-x）， ∴S=S△BCE-S△BEF=EB·OC-EB·MF =EB（OC-MF） =（4-x）[4-（4-x）] =-x2+x+=-（x-1）2+3， ∵a=-＜0，∴S有最大值， 当x=1时，S最大值=3， 此时点E的坐标为（1，0）。

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。