如图所示,点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上,且OA=3,AC=2,CD平行于AB,并与弧AB相交于点M、N。(1)求线段OD的长;(2)若,求弦MN的长。-九年级数学

题文

如图所示,点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上,且OA=3,AC=2,CD平行于AB,并与弧AB相交于点M、N。
(1)求线段OD的长;
(2)若,求弦MN的长。

题型:解答题  难度:中档

答案

解:(1)OD=5(根据平行可证得△COD是等腰三角形,OD=OC=5);
(2)过点O作OE⊥MN,垂足为点E,并连结OM,根据tanC=与OC=5,,在Rt△OEM中,利用勾股定理,得ME=2,即MN=2ME=4。

据专家权威分析,试题“如图所示,点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上,且OA=3,..”主要考查你对  等腰三角形的性质,等腰三角形的判定,垂直于直径的弦,解直角三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

等腰三角形的性质,等腰三角形的判定垂直于直径的弦解直角三角形

考点名称:等腰三角形的性质,等腰三角形的判定

  • 定义:
    有两条边相等的三角形,是等腰三角形,相等的两条边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角。

  • 等腰三角形的性质:
    1.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。
    2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一”)。
    3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。
    4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
    5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
    6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
    7.等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴。
    8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
    9.等腰三角形中腰大于高
    10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

  • 等腰三角形的判定:
    1.定义法:在同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形。
    2.判定定理:在同一三角形中,有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称:等角对等边)。
    3.顶角的平分线,底边上的中分线,底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称:垂直于直径的弦

  • 垂径定理:
    垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
    注:
    (1)定理中的直径过圆心即可,可以是直径、半径、过圆心的直线或线段;
    (2)此定理是证明等线段、等角、垂直的主要依据,同时也为圆的有关计算提供了方法和依据。

    垂径定理的推论:
    推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
    推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
    推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
    推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
    推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
    (证明时的理论依据就是上面的五条定理)
    但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:

    一条直线,在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论
    1.平分弦所对的优弧
    2.平分弦所对的劣弧
    (前两条合起来就是:平分弦所对的两条弧)
    3.平分弦 (不是直径)
    4.垂直于弦
    5.经过圆心

考点名称:解直角三角形

  • 概念:
    在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

    解直角三角形的边角关系:
    在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,
    (1)三边之间的关系:(勾股定理);
    (2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°;
    (3)边角之间的关系:

  • 解直角三角形的函数值:

    锐角三角函数:
    sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b,cotA=b/a
    (1)互余角的三角函数值之间的关系:
    若∠ A+∠ B=90°,那么sinA=cosB或sinB=cosA
    (2)同角的三角函数值之间的关系:
    ①sin2A+cos2A=1
    ②tanA=sinA/cosA
    ③tanA=1/tanB
    ④a/sinA=b/sinB=c/sinC
    (3)锐角三角函数随角度的变化规律:
    锐角∠A的tan值和sin值随着角度的增大而增大,cos值随着角度的增大而减小。

  • 解直角三角形的应用:
    一般步骤是:
    (1)将实际问题抽象为数学问题(画图,转化为直角三角形的问题);
    (2)根据题目的条件,适当选择锐角三角函数等去解三角形;
    (3)得到数学问题的答案;
    (4)还原为实际问题的答案。

  • 解直角三角形的函数值列举:
    sin1=0.01745240643728351 sin2=0.03489949670250097 sin3=0.05233595624294383
    sin4=0.0697564737441253 sin5=0.08715574274765816 sin6=0.10452846326765346
    sin7=0.12186934340514747 sin8=0.13917310096006544 sin9=0.15643446504023087
    sin10=0.17364817766693033 sin11=0.1908089953765448 sin12=0.20791169081775931
    sin13=0.22495105434386497 sin14=0.24192189559966773 sin15=0.25881904510252074
    sin16=0.27563735581699916 sin17=0.2923717047227367 sin18=0.3090169943749474
    sin19=0.3255681544571567 sin20=0.3420201433256687 sin21=0.35836794954530027
    sin22=0.374606593415912 sin23=0.3907311284892737 sin24=0.40673664307580015
    sin25=0.42261826174069944 sin26=0.4383711467890774 sin27=0.45399049973954675
    sin28=0.4694715627858908 sin29=0.48480962024633706 sin30=0.49999999999999994
    sin31=0.5150380749100542 sin32=0.5299192642332049 sin33=0.544639035015027
    sin34=0.5591929034707468 sin35=0.573576436351046 sin36=0.5877852522924731
    sin37=0.6018150231520483 sin38=0.6156614753256583 sin39=0.6293203910498375

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