题文

在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N。

（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN。 ①求证：△ABN≌△ADN； ②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求点M到AD的距离及tanα的值； （2）如图2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12），试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）①证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD，∠1=∠2 又∵AN=AN ∴△ABN≌△ADN ②作MH⊥DA交DA的延长线于点H，由AD∥BC，得∠MAH=∠ABC=60°， 在Rt△AMH中，MH=AM·sin60°=4×sin60°=2， ∴点M到AD的距离为2， 易求AH=2，则DH=6+2=8 在Rt△DMH中，tan∠MDH=， 由①知，∠MDH=∠ABN=α，故tanα=；
（2）∵∠ABC=90°， ∴菱形ABCD是正方形，此时，∠CAD=45°， 下面分三种情形： Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45° 此时，点M恰好与点B重合，得x=6； Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45° 此时，点M恰好与点C重合，得x=12； Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2， 由AD∥BC，得∠1=∠4， 又∠2=∠3， ∴∠3=∠4，从而CM=CN， 易求AC=6， ∴CM=CN=AC-AN=6-6， 故x=12-CM=12-（6-6）=18-6， 综上所述：当x=6或12或18-6时，△ADN是等腰三角形。

据专家权威分析，试题“在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形全等的判定，解直角三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定三角形全等的判定解直角三角形

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称：三角形全等的判定

• 三角形全等判定定理：
  1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了
  三角形具有稳定性的原因。
  2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
  3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
  4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
  5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以：SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
  注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

• 三角形全等的判定公理及推论：
  (1)“边角边”简称“SAS”
  (2)“角边角”简称“ASA”
  (3)“边边边”简称“SSS”
  (4)“角角边”简称“AAS”
  注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
  
  要验证全等三角形，不需验证所有边及所有角也对应地相同。
  以下判定，是由三个对应的部分组成，即全等三角形可透过以下定义来判定：
  ①S.S.S. (边、边、边)：
  各三角形的三条边的长度都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
  ②S.A.S. (边、角、边)：
  各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
  ③A.S.A. (角、边、角)：
  各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
  ④A.A.S. (角、角、边)：
  各三角形的其中两个角都对应地相等，且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
  ⑤R.H.S. / H.L. (直角、斜边、边)：
  各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。 但并非运用任何三个相等的部分便能判定三角形是否全等。以下的判定同样是运用两个三角形的三个相等的部分，但不能判定全等三角形：
  ⑥A.A.A. (角、角、角)：
  各三角形的任何三个角都对应地相等，但这并不能判定全等三角形，但则可判定相似三角形。
  ⑦A.S.S. (角、边、边)：
  各三角形的其中一个角都相等，且其余的两条边(没有夹着该角)，但这并不能判定全等三角形，除非是直角三角形。