题文

如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=5cm，等腰直角△PMN的斜边MN=10cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设矩形ABCD不动，等腰直角△PMN沿AB所在直线以1cm/s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止。 （1）等腰直角△PMN在整个移动过程中与矩形ABCD重叠部分的形状变化为_________； （2）设等腰直角△PMN与矩形ABCD重叠部分的面积为S（cm2），等腰直角△PMN移动时间为x（s），写出S与x的函数关系式，并指出x 的取值范围； （3）当等腰直角△PMN移动了4s时，等腰直角△PMN与矩形ABCD重叠部分的面积是多少？

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）等腰直角三角形变为四边形最后又变为等腰直角三角形；
（2）等腰直角△PMN在整个移动过程中与矩形ABCD重叠部分图形的形状可分为以下两种情况： ①当0＜x≤5时，重叠部分的形状为等腰直角△EAN（如图①）， 此时AN=x（cm）， ∴S=x×x=x2； ②当5＜x≤10时，重叠部分的形状是四边形形ANPQ（如图②），  此时，AN=x（cm）， ∵AM=MN-AN=10-x， ∴AQ=10-x， ∴四边形ANPQ面积为 S=PM×PN-AM×AQ =×10×5-×（10-x）2  =x2+10x+25， ∴S=	①                       ②
（3）当等腰直角三角形PMN移动了4s时，如图①， 等腰直角△PMN与矩形ABCD重叠部分的面积是8cm2。

据专家权威分析，试题“如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=5cm，等腰直角△PMN的斜边MN=10..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，求二次函数的解析式及二次函数的应用，矩形，矩形的性质，矩形的判定，平移  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定求二次函数的解析式及二次函数的应用矩形，矩形的性质，矩形的判定平移

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：