题文

如图，∠ABC=∠ACB=60°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O且平行于BC的直线交AB于M，交AC于N，连接AO，试找出图中所有的等腰三角形。

题型：解答题  难度：中档

答案

解：△BOM，△CON，△BOC，△AOB，△AOC，△AMN，△ABC。

据专家权威分析，试题“如图，∠ABC=∠ACB=60°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O且平行于..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质，垂直平分线的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定角平分线的性质垂直平分线的性质

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称：角平分线的性质

• 角平分线：
  三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。三角形的角平分线交点一定在三角形内部。

• 角平方线定理：
  ①角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。
  ②角平分线能得到相同的两个角，都等于该角的一半。
  ③三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
  ④三角形的三个角的角平分线相交于一点，这个点称为内心 ，即以此点为圆心可以在三角形内部画一个内切圆。
  逆定理：
  在角的内部，到角两边的距离相等的点在角平分线上。

• 角平分线作法：
  在角AOB中，画角平分线
  
  方法一：
  1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N。
  2.分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。
  3.作射线OP。
  则射线OP为角AOB的角平分线。
  当然，角平分线的作法有很多种。下面再提供一种尺规作图的方法供参考。
  
  方法二：
  1.在两边OA、OB上分别截取OM、OA和ON、OB，且使得OM=ON，OA=OB；
  2.连接AN与BM，他们相交于点P；
  3.作射线OP。
  则射线OP为角AOB的角平分线。

考点名称：垂直平分线的性质

• 垂直平分线的概念：
  垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。
  如图：直线MN即为线段AB的垂直平分线。
  

• 垂直平分线的性质：
  1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
  2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
  逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
  3.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
  4.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相 等。
  （此时以外心为圆心，外心到顶点的长度为半径，所作的圆为此三角形的外接圆。）
  
  判定：
  ①利用定义；
  ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
  （即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）

• 尺规作法：（用圆规作图）
  1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。
  2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到两个交点(两交点交与线段的异侧)。
  3、连接这两个交点。
  原理：等腰三角形的高垂直平分底边。