题文

将两个完全相同的含有 30°角的直角三角板如图所示放置，其中∠DAC = 30°，∠ACD=90°，AD = 8，点M为 AC中点，动点E从点C出发沿CB方向运动到点B停止，连接EM并延长交AD于点 F。 (1)四边形ABCD 的面积为________； (2)当 CE =_______时，四边形DCEF为等腰梯形，  当 CE =_______时，四边形DCEF为直角梯形； (3)当∠EMC= 90°时，判断四边形DCEF的形状，并说明理由； (4)连接BF，在点 E的运动过程中，是否存在△BEF为等腰三角形？如果存在，求出 CE 的长；如果不存在，说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：(1)       (2)2  3           (3 )当∠EMC = 90 °时，四边形DCEF是菱形。 理由：如图1， ∵∠EMC=∠ACD = 90°， ∴DC//EF， ∵∠BCA=∠DAC =30 °， ∴CB//AD， ∴四边形DCEF是平行四边形。 在Rt△ACD中， ∵AD = 8， ∴CD = AD·sin 30°=4，AC=， ∵ 点M为 AC中点， ∴CM =。 在Rt△BMC中， ∵ cos∠ECM = ， ∴CE = ， ∴ CE =CD， ∴四边形DCEF是菱形。  (4)存在。      如图2，过点 B作BG⊥AD于点 G， 则 AG = 2，BG =， 过点E作EH⊥AD于点H，设CE = x， 则HF =8 - 2 - x -x = 6-2x，BE = 8-x， ，， 当EB = EF时，有， 解得xl =4，(不合题意，舍去)； 当EB = BF时，有，解得； 当EF = BF时，有， 解得，x2 = 8(不合题意，舍去)。 ∴当CE的长为4、或时，     △BEF为等腰三角形。

据专家权威分析，试题“将两个完全相同的含有30°角的直角三角板如图所示放置，其中∠DAC=..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，梯形，梯形的中位线  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定平行四边形的性质梯形，梯形的中位线

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称：平行四边形的性质