题文

如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ADC=∠CEB=90°

（1）连接DE、M、N分别是AC、BC上一点，且∠MDC=∠CDE，∠NEC=∠CED，探索DM、DE、EN之间的数量关系，并说明理由． （2）延长AD、BE交于F点，连接DE，CG⊥DE于G点，连接CF，CF与DE相交于O点，OC=OE，延长GC到H点，使得CH=CF，探索BF、BH的关系，并说明理由．

题型：探究题  难度：偏难

答案

（1）解：DM+EN=DE，理由是： ∵等腰直角△ADC和△BEC， ∴∠DCA=45°，∠BCE=45°， ∴∠DCE=180°﹣45°﹣45°=90°， ∴∠CDE+∠CED=180°﹣90°， ∵∠MDC=∠CDE，∠NEC=∠CED， ∴∠MDC+∠CDE+∠DEC+∠NEC=2×90°=180°， ∴DM∥EN， 取DE的中点Q，连接CQ， ∵∠DCE=90°， ∴CQ=QE=DQ， ∴∠QCE=∠QEC=∠NEC， ∴CQ∥EN，同理CQ∥DM，即DM∥CQ∥EN， ∵Q是DE的中点， ∴MC=CN， ∴CQ=（DM+EN）， ∵CQ=QD=QE=DE， ∴DM+EN=DE； （2）解：BF=BH，BF⊥BH，理由是： 由（1）证得：∠DCE=90°， ∵∠DCE=90°，CG⊥DE， ∴∠DCG+∠ECG=90°，∠ECG+∠GEC=90°， ∴∠DCG=∠GEC， ∵CO=OE， ∴∠GEC=∠ECO， ∴∠GCD=∠ECO， ∵的三角形△ACD和△BEC， ∴∠DCA=∠ECB=45°， ∴∠GCD+∠DCA=∠OCE+∠ECB，即∠GCA=∠FCB， ∵∠GCA=∠BCH， ∴∠BCH=∠FCB， 在△FBC和△HBC中， ∴△FBC≌△HBC， ∴BF=BH，∠FBC=∠HBC=45°， ∴∠FBH=45°+45°=90°， ∴FB⊥BH．

据专家权威分析，试题“如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ADC=∠C..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质，三角形全等的判定，梯形，梯形的中位线  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定全等三角形的性质三角形全等的判定梯形，梯形的中位线

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称：全等三角形的性质

• 全等三角形：
  两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。
  全等三角形的对应边相等，对应角相等。
  ①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;
  ②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;
  ③有公共边的，公共边一定是对应边;
  ④有公共角的，角一定是对应角;
  ⑤有对顶角的，对顶角一定是对应角。

• 全等三角形的性质：
  1.全等三角形的对应角相等。
  2.全等三角形的对应边相等。
  3.全等三角形的对应边上的高对应相等。
  4.全等三角形的对应角的角平分线相等。
  5.全等三角形的对应边上的中线相等。
  6.全等三角形面积相等。
  7.全等三角形周长相等。
  8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。

•  

考点名称：三角形全等的判定

• 三角形全等判定定理：
  1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了
  三角形具有稳定性的原因。
  2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
  3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
  4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
  5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以：SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
  注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

• 三角形全等的判定公理及推论：
  (1)“边角边”简称“SAS”
  (2)“角边角”简称“ASA”
  (3)“边边边”简称“SSS”
  (4)“角角边”简称“AAS”
  注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
  
  要验证全等三角形，不需验证所有边及所有角也对应地相同。
  以下判定，是由三个对应的部分组成，即全等三角形可透过以下定义来判定：
  ①S.S.S. (边、边、边)：
  各三角形的三条边的长度都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
  ②S.A.S. (边、角、边)：
  各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
  ③A.S.A. (角、边、角)：
  各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。