如图是等腰三角形屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC,DE垂直于横梁AC,AB=8m,∠A=30°,求:(1)∠ABF的度数;(2)立柱BC,DE要多长.-八年级数学

题文

如图是等腰三角形屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC,DE垂直于横梁AC,AB=8m,∠A=30°,求:
(1)∠ABF的度数;
(2)立柱BC,DE要多长.

题型:解答题  难度:中档

答案

解:(1)∠ABF=180°﹣2×30°=120°.
故∠ABF的度数为120°;
(2)∵立柱BC、DE垂直于横梁AC,
∴BC∥DE,
∵D是AB中点,
∴AD=BD,
∴AE:CE=AD:BD,
∴AE=CE,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE=BC,
在Rt△ABC中,
BC=AB=4m,
∴DE=2m.
故立柱BC长4m,DE长2m.

据专家权威分析,试题“如图是等腰三角形屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱B..”主要考查你对  等腰三角形的性质,等腰三角形的判定,三角形中位线定理,平行线分线段成比例  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

等腰三角形的性质,等腰三角形的判定三角形中位线定理平行线分线段成比例

考点名称:等腰三角形的性质,等腰三角形的判定

  • 定义:
    有两条边相等的三角形,是等腰三角形,相等的两条边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角。

  • 等腰三角形的性质:
    1.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。
    2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一”)。
    3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。
    4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
    5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
    6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
    7.等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴。
    8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
    9.等腰三角形中腰大于高
    10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

  • 等腰三角形的判定:
    1.定义法:在同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形。
    2.判定定理:在同一三角形中,有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称:等角对等边)。
    3.顶角的平分线,底边上的中分线,底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称:三角形中位线定理

  • 三角形中位线定义:
    连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。
    三角形中位线定理:
    三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。

    如图已知△ABC中,D,E分别是AB,AC两边中点。
    则DE平行于BC且等于BC/2

  • 三角形中位线逆定理:

    逆定理一:在三角形内,与三角形的两边相交,平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
    如图DE//BC,DE=BC/2,则D是AB的中点,E是AC的中点。
    逆定理二:在三角形内,经过三角形一边的中点,且与另一边平行的线段,是三角形的中位线。
    如图D是AB的中点,DE//BC,则E是AC的中点,DE=BC/2

  • 区分三角形的中位线和中线:
    三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段;
    三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。

考点名称:平行线分线段成比例

  • 平行线分线段成比例定理:
    三条平行线截两条直线,所得对应线段成比例。
    推广:过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
    定理推论:
    ①平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例。
    ②平行于三角形一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

  • 证明思路:
    该定理是用举例的方法引入的,没有给出证明,严格的证明要用到我们还未学到的知识,通过举例证明,让同学们承认这个定理就可以了,重要的是要求同学们正确地使用它(用相似三角形可以证明它,在这里要用到平移和设三条平行线与直线1交于A、B、C三点,与直线2交于D、E、F三点

    法1:过A作平行线的垂线交另两条平行线于M、N,过D作平行线的垂线交另两条平行线于P、Q,则四边形AMPD、ANQD均为矩形。

    AM=DP,AN=DQ
    AB=AM/cosA,AC=AN/cosA,∴AB/AC=AM/AN
    DE=DP/cosD,DF=DQ/cosD,∴DE/DF=DP/DQ
    又∵AM=DP,AN=DQ,∴AB/AC=DE/DF
    根据比例的性质:
    AB/(AC-AB)=DE/(DF-DE)
    ∴AB/BC=DE/EF

    法2:过A点作AN∥DF交BE于M点,交CF于N点,则AM=DE,MN=EF.

    ∵ BE∥CF
    ∴△ABM∽△ACN.
    ∴AB/AC=AM/AN
    ∴AB/(AC-AB)=AM/(AN-AM)
    ∴AB/BC=DE/EF

    法3:连结AE、BD、BF、CE

    根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE, S△BCE=S△BEF
    ∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE
    根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得:
    AB/BC=DE/EF
    由更比性质、等比性质得:
    AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF

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